V241.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V241.XGP[TEX,DEK] blob sn#521451 filedate 1980-07-10 generic text, type T, neo UTF8
/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000189*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	[␈↓ α4␈ε"SECTION␈α4.1␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β
ε␈↓ β'␈ε6⎇␈ε"␈α1980␈αAddison↑W␈α⎇esley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃H␈↓ ε2␈ε$0
␈β∪(

␈β↓l␈↓ ↓H␈∧↓l↓H↓(␈↓ ¬␈∧↓l¬↓(
␈β↓m␈↓ ↓H␈∧↓m↓H(↓␈↓ ,␈∧↓m,(↓
␈βαI␈↓ ↓H␈ε>C␈α∧H␈α∧A␈α∧PT␈αβE␈α∧R␈α$F␈α∧O␈αβU␈α∧R
␈ββ7␈↓ πk␈ε<ARITH␈α␈METI␈α␈C
␈β∧(␈↓ αM␈ε Seeing␈αthere␈αis␈αnothing␈α(right␈αw␈α␈ell␈αbelo␈α␈v␈α␈ed␈αStudents␈αin␈αthe␈αMathematick␈α␈es)
␈β∧P␈↓ α+␈ε that␈αis␈αso␈αtroublesome␈αto␈αMathematicall␈αpractise,␈αnor␈αthat␈αdoth␈αmore␈αmolest
␈β∧w␈↓ β∃␈ε and␈αhinder␈αCalculators,␈αthen␈αthe␈αMultiplications,␈αDivisions,␈αsquare␈αand
␈β¬∨␈↓ βn␈ε cubical␈αExtractions␈αof␈αgreat␈αnumbers,␈αwhich␈αbesides␈αthe␈αtedious
␈β¬G␈↓ β∧␈ε expence␈αof␈αtime␈αare␈αfor␈αthe␈αmost␈αpart␈αsubject␈αto␈αmany␈αslippery␈αerrors.
␈β¬n␈↓ β←␈ε I␈αbegan␈αtherefore␈αto␈αconsider␈αin␈αmy␈αminde,␈αby␈αwhat␈αcertaine␈αand
␈βε⊗␈↓ ε≥␈ε ready␈αArt␈αI␈αmight␈αremo␈α␈v␈α␈e␈αthose␈αhindrances.
␈βεN␈↓ λ:␈ε?←JOHN␈↓ 	D␈ε?NAPIER␈α(1614)
␈βπ≥␈↓ α,␈ε I␈αdo␈αhate␈αsums.␈α⊂There␈αis␈αno␈αgreater␈αmistak␈α␈e␈αthan␈αto␈αcall␈αarithmetic␈αan␈αexact
␈βπD␈↓ αy␈ε science.␈α⊂There␈αare␈α.␈α⊂.␈α⊂.␈α⊂hidden␈αla␈α␈ws␈αof␈αnumber␈αwhich␈αit␈αrequires␈αa␈αmind
␈βπl␈↓ αQ␈ε lik␈α␈e␈αmine␈αto␈αperceiv␈α␈e.␈α⊂F␈α⎇or␈αinstance,␈αif␈αy␈α␈ou␈αadd␈αa␈αsum␈αfrom␈αthe␈αbottom␈αup,
␈βλ∀␈↓ βb␈ε and␈αthen␈αagain␈αfrom␈αthe␈αtop␈αdo␈α␈wn,␈αthe␈αresult␈αis␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αdi{erent.
␈βλK␈↓ π¬␈ε?←MRS.␈↓ λε␈ε?LA␈αTOUCHE␈α(19th␈αcentury)
␈β	~␈↓ β⊃␈ε I␈αcannot␈αconceiv␈α␈e␈αthat␈αanybody␈αwill␈αrequire␈αmultiplications␈αat␈αthe␈αrate
␈β	B␈↓ β∪␈ε of␈α40,000,␈αor␈αev␈α␈en␈α4,000␈αper␈αhour;␈αsuch␈αa␈αrev␈α␈olutionary␈αchange␈αas␈αthe
␈β	j␈↓ β⎇␈ε octonary␈αscale␈αshould␈αnot␈αbe␈αimposed␈αupon␈αmankind␈αin␈αgeneral
␈β
⊃␈↓ πA␈ε for␈αthe␈αsak␈α␈e␈αof␈αa␈αfew␈αindividuals.
␈β
I␈↓ λV␈ε?←F.␈αH.␈↓ 	Q␈ε?W␈α{ALES␈α(1936)
␈β_␈↓ ∧u␈ε Most␈αnumerical␈αanalysts␈αha␈α␈v␈α␈e␈αno␈αinterest␈αin␈αarithmetic.
␈βP␈↓ λV␈ε?←B.␈↓ 	&␈ε?P␈α⎇ARLETT␈α(1979)
␈βf␈↓ ↓H␈ε"T␈↓ ∧J␈ε"of␈α∂this␈α∂chapter␈α∂is␈α∂to␈α⊂mak␈α␈e␈α∂a␈α∂careful␈α∂study␈α∂of␈α∂the␈α∂four
␈βk␈↓ ↓b␈ε.HE␈α∂CHIEF␈α∂PU␈α↓RPOSE
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"basic␈α
processes␈α
of␈αarithmetic:␈αaddition,␈αsubtraction,␈α
m␈α␈ultiplication,␈αand␈α
division.
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"Man␈α␈y␈α∞people␈α∞regard␈α∂arithmetic␈α∞as␈α∞a␈α∂trivial␈α∞thing␈α∞that␈α∞children␈α∂learn␈α∞and␈α∞com-
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"puters␈α
do,␈αbut␈αw␈α␈e␈αwill␈αsee␈α
that␈αarithmetic␈αis␈αa␈α
fascinating␈αtopic␈αwith␈αman␈α␈y␈α
in␈α␈ter-
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"esting␈αfacets.␈α⊂It␈α
is␈αimportan␈α␈t␈αto␈αmak␈α␈e␈αa␈α
th␈α↓orough␈αstudy␈αof␈αe}cien␈α␈t␈αmeth␈α↓ods␈αfor
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"calculating␈αwith␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αsince␈αarithmetic␈αunderlies␈αso␈αman␈α␈y␈αcomputer␈αapplica-
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"tions.
␈β∂∃␈↓ α␈ε"Arithmetic␈αis,␈αin␈αfact,␈α
a␈αliv␈α␈ely␈αsubject␈αthat␈αhas␈αpla␈α␈y␈α␈ed␈αan␈αimportan␈α␈t␈αpart␈αin
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞history␈α∂of␈α∞the␈α∂w␈α␈orld,␈α∂and␈α∂it␈α∂still␈α∞is␈α∂undergoing␈α∞rapid␈α∂dev␈α␈elopmen␈α␈t.␈α_In␈α∞this
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"chapter,␈α∂w␈α␈e␈α∂shall␈α∂analyze␈α∂algorithms␈α∂for␈α∂doing␈α∂arithmetic␈α∂operations␈α∂on␈α∂man␈α␈y
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈ypes␈αof␈α
quan␈α␈tities,␈αsuch␈α
as␈α
\⎇oating␈αpoin␈α␈t"␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈αextremely␈α
large␈αn␈α␈um␈α␈bers,
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"fractions␈α⊂(rational␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers),␈α∩polyn␈α↓omials,␈α∩and␈α⊃po␈α␈w␈α␈er␈α⊂series;␈α∪and␈α⊃w␈α␈e␈α⊃will␈α⊂also
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"discuss␈α∂related␈α∂topics␈α∂such␈α∂as␈α∂radix␈α∂con␈α␈v␈α␈ersion,␈α⊂factoring␈α∂of␈α∂n␈α␈um␈α␈bers,␈α⊂and␈α∂the
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"ev␈α}aluation␈αof␈αpolyn␈α↓omials.
␈β⊃H␈↓ ε#␈ε$17␈α↓8
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"179
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.1.␈↓ α↔␈ε=P␈α␈OSITIONAL␈α
N␈α↓UM␈α␈BE␈α␈R␈α
SYSTEM␈α␈S
␈βαe␈↓ ↓H␈ε"T␈↓ ¬h␈ε"is␈α
in␈α␈timately␈αrelated␈α
to␈α
the␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α
w␈α␈e␈αrepresen␈α␈t
␈βαj␈↓ ↓b␈ε.HE␈α
W␈α{A␈α}Y␈α
WE␈αD␈α↓O␈αARITH␈α↓METIC
␈ββ⊂␈↓ ↓H␈ε"the␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αw␈α␈e␈αdeal␈αwith,␈αso␈αit␈αis␈αappropriate␈αto␈αbegin␈αour␈αstudy␈αof␈αthe␈αsubject
␈ββ;␈↓ ↓H␈ε"with␈αa␈αdiscussion␈αof␈αthe␈αprincipal␈↓ ¬↑␈ε"means␈αfor␈αrepresen␈α␈ting␈αn␈α␈um␈α␈bers.
␈ββf␈↓ α␈ε"Positional␈αn␈α↓otation␈αusing␈αbase␈ε(␈αb␈ε"␈α(or␈ε/␈αradix␈ε(␈αb␈ε"␈α↓)␈αis␈αde|ned␈αby␈αthe␈αrule
␈β∧&␈↓ αε␈ε"(␈↓ α_␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αH␈ε(a␈↓ αl␈ε(a␈↓ β⊂␈ε(a␈↓ β4␈ε(a␈↓ βX␈ε".␈↓ βb␈ε(a␈↓ ∧#␈ε(a␈↓ ∧j␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬~␈ε")
␈β∧3␈↓ α[␈ε%3␈↓ α␈␈ε%2␈↓ β#␈ε%1␈↓ βG␈ε%0␈↓ βu␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ∧6␈ε9␈␈ε%2␈↓ ¬&␈ε+b
␈β∧←␈↓ ∧↔␈ε%3␈↓ ¬∂␈ε%2␈↓ επ␈ε%1␈↓ πt␈ε9␈␈ε%1␈↓ 	'␈ε9␈␈ε%2
␈β∧g␈↓ αX␈ε"=␈↓ βε␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β8␈ε"+␈↓ βd␈ε(a␈↓ ∧λ␈ε(b␈↓ ∧0␈ε"+␈↓ ∧\␈ε(a␈↓ ¬␈ε(b␈↓ ¬(␈ε"+␈↓ ¬T␈ε(a␈↓ ¬x␈ε(b␈↓ ε ␈ε"+␈↓ εL␈ε(a␈↓ εx␈ε"+␈↓ π$␈ε(a␈↓ πe␈ε(b␈↓ λ+␈ε"+␈↓ λW␈ε(a␈↓ 	_␈ε(b␈↓ 	↑␈ε"+␈↓ 

␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
:␈ε";␈↓ α␈ε"(1)
␈β∧t␈↓ βw␈ε%3␈↓ ∧o␈ε%2␈↓ ¬g␈ε%1␈↓ ε←␈ε%0␈↓ π7␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λj␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈β¬%␈↓ ¬λ␈ε%2␈↓ ε
␈ε%1␈↓ πQ␈ε9␈␈ε%1
␈β¬&␈↓ λq␈ε%1
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε"for␈αexample,␈α(520.3␈↓ βu␈ε")␈↓ ∧≤␈ε"=␈α
5␈ε6␈αλ↓␈↓ ∧v␈ε"6␈↓ ¬ ␈ε"+␈αλ2␈ε6␈αλ↓␈↓ ¬x␈ε"6␈↓ ε"␈ε"+␈αλ0␈αλ+␈απ3␈ε6␈αλ↓␈↓ π?␈ε"6␈↓ λ	␈ε"=␈α
192␈↓ 	¬␈ε".␈α⊂Our␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional
␈β¬7␈↓ ∧↓␈ε%6
␈β¬;␈↓ λq␈ε%2
␈β¬?␈↓ λq␈∧¬?λqα⊂
␈β¬V␈↓ ↓H␈ε"decimal␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞system␈α
is,␈α∂of␈α∞course,␈α∞the␈α∞special␈α∞case␈α∞when␈ε(␈α∞b␈ε"␈α∞is␈α∞ten,␈α∂and␈α
when
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε"the␈ε(␈α∞a␈ε"'s␈α∞are␈α∞ch␈α↓osen␈α∞from␈α∞the␈α∞\␈↓ ¬ ␈ε"decimal␈α∞digits"␈α∞0,␈α∂1,␈α∞2,␈α∂3,␈α∞4,␈α∂5,␈α∂6,␈α∞7,␈α∂8,␈α∞9;␈α∂in␈α∞this
␈βε,␈↓ ↓H␈ε"case␈αthe␈αsubscript␈ε(␈αb␈ε"␈αin␈α(1)␈αma␈α␈y␈αbe␈αomitted.
␈βεW␈↓ α␈ε"The␈α⊃simplest␈α⊃generalizations␈α⊃of␈α⊃the␈α⊃decimal␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃system␈α⊃are␈α⊃obtained
␈βπβ␈↓ ↓H␈ε"when␈α
w␈α␈e␈α
tak␈α␈e␈ε(␈α
b␈ε"␈α
to␈α
be␈α
an␈α
in␈α␈teger␈α
greater␈α
than␈α
1␈α
and␈α
when␈α
w␈α␈e␈α
require␈αthe␈ε(␈α
a␈ε"'s␈α
to
␈βπ.␈↓ ↓H␈ε"be␈αin␈α␈tegers␈αin␈αthe␈αrange␈α0␈ε6␈α
∀␈↓ ¬∂␈ε(a␈↓ ¬?␈ε"<␈ε(␈α
b␈ε".␈α⊂This␈αgiv␈α␈es␈αus␈αthe␈αstandard␈↓ 	@␈ε"binary␈α(␈ε(b␈ε"␈α
=␈α
2),
␈βπ:␈↓ ¬"␈ε+k
␈βπY␈↓ ↓H␈ε"ternary␈α∞(␈ε(b␈ε"␈α
=␈α
3),␈↓ βY␈ε"quaternary␈α∞(␈ε(b␈ε"␈α
=␈α∞4),␈↓ ε"␈ε"quinary␈α∞(␈ε(b␈ε"␈α∞=␈α
5),␈↓ λ8␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λp␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α∞systems.␈α∃In
␈βλ∧␈↓ ↓H␈ε"general,␈αw␈α␈e␈αcould␈αtak␈α␈e␈ε(␈αb␈ε"␈αto␈αbe␈αan␈α␈y␈αn␈α↓onzero␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈αand␈αw␈α␈e␈αcould␈αch␈α↓o␈α↓ose␈αthe␈ε(␈αa␈ε"'s
␈βλ/␈↓ ↓H␈ε"from␈α∞an␈α␈y␈α∞speci|ed␈α∞set␈α∞of␈α∞n␈α␈um␈α␈bers;␈α∂this␈α∞leads␈α∞to␈α∞some␈α∞in␈α␈teresting␈α∞situations,␈α∞as
␈βλ[␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αshall␈αsee.
␈β	ε␈↓ α␈ε"The␈α∞dot␈α
that␈α∞appears␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ ¬z␈ε(a␈↓ ε+␈ε"and␈↓ εs␈ε(a␈↓ πB␈ε"in␈α∞(1)␈α
is␈α∞called␈α
the␈↓ 	r␈ε/radix␈α
poin␈α␈t.
␈β	∩␈↓ ε
␈ε%0␈↓ πε␈ε9␈␈ε%1
␈β	1␈↓ ↓H␈ε"(When␈ε(␈αλb␈ε"␈α=␈α
10,␈α	it␈α	is␈αλalso␈α	called␈α	the␈αλdecimal␈α	poin␈α␈t,␈α	and␈α	when␈ε(␈α	b␈ε"␈α
=␈α
2,␈α	it␈α	is␈αλsometimes
␈β	\␈↓ ↓H␈ε"called␈αthe␈αbinary␈αpoin␈α␈t,␈αetc.)␈α⊂Con␈α␈tinen␈α␈tal␈αEuropeans␈αo$en␈αuse␈αa␈αcomma␈αinstead
␈β
π␈↓ ↓H␈ε"of␈αa␈αdot␈αto␈αden␈α↓ote␈αthe␈αradix␈αpoin␈α␈t;␈αEnglishmen␈αo$en␈αuse␈αa␈αraised␈αdot.
␈β
3␈↓ α␈ε"The␈ε(␈α	a␈ε"'s␈αλin␈α	(1)␈α	are␈αλcalled␈α	the␈↓ ¬6␈ε/digits␈ε"␈αλof␈α	the␈α	represen␈α␈tation.␈α∂A␈αλdigit␈↓ 	a␈ε(a␈↓ 
∂␈ε"for␈α	large␈↓ _␈ε(k
␈β
?␈↓ 	t␈ε+k
␈β
↑␈↓ ↓H␈ε"is␈αo$en␈αsaid␈αto␈αbe␈α\m␈α↓ore␈αsigni|can␈α␈t"␈↓ ε⊃␈ε"than␈αthe␈αdigits␈↓ λα␈ε(a␈↓ λ2␈ε"for␈αsmall␈↓ 	F␈ε(k␈↓ 	Z␈ε";␈αaccordingly,
␈β
j␈↓ λ∃␈ε+k
␈β	␈↓ ↓H␈ε"the␈α
le$m␈α↓ost␈α
or␈α\leading"␈α
digit␈αis␈α
referred␈α
to␈αas␈α
the␈ε/␈αm␈α↓ost␈α
signi|can␈α␈t␈αdigit␈↓ 
6␈ε"and␈α
the
␈β4␈↓ ↓H␈ε"righ␈α␈tm␈α↓ost␈α∞or␈α∞\trailing"␈α∞digit␈α∞is␈α∞referred␈α∞to␈α∞as␈α∂the␈ε/␈α∞least␈α∞signi|can␈α␈t␈α∞digit␈ε".␈α⊗In␈α∞the
␈β←␈↓ ↓H␈ε"standard␈α
binary␈α∞system␈α∞the␈↓ ¬␈ε"binary␈α
digits␈α∞are␈α∞o$en␈α∞called␈↓ λd␈ε/bits␈ε";␈α∂in␈α∞the␈α
standard
␈β␈↓ ↓H␈ε"hexadecimal␈α
system␈α
(radix␈α∞sixteen)␈α
the␈↓ εA␈ε"hexadecimal␈α∞digits␈α
zero␈α
through␈α
|$een
␈β6␈↓ ↓H␈ε"are␈αusually␈αden␈α↓oted␈αby
␈βy␈↓ ∧␈ε",␈↓ ∧5␈ε",␈↓ ∧↑␈ε",␈↓ ¬ε␈ε",␈↓ ¬/␈ε",␈↓ ¬X␈ε",␈↓ ε↓␈ε",␈↓ ε*␈ε",␈↓ εS␈ε",␈↓ ε|␈ε",␈↓ π%␈ε",␈↓ πN␈ε",␈↓ πw␈ε",␈↓ λ∨␈ε",␈↓ λH␈ε",␈↓ λq␈ε".
␈β{␈↓ βy␈ε50␈↓ ∧"␈ε51␈↓ ∧K␈ε52␈↓ ∧t␈ε53␈↓ ¬≤␈ε54␈↓ ¬E␈ε55␈↓ ¬n␈ε56␈↓ ε↔␈ε57␈↓ ε@␈ε58␈↓ εi␈ε59␈↓ π∩␈ε5A␈↓ π;␈ε5B␈↓ πd␈ε5C␈↓ λ
␈ε5D␈↓ λ5␈ε5E␈↓ λ↑␈ε5F
␈β
=␈↓ α␈ε"The␈αhistorical␈α
dev␈α␈elopmen␈α␈t␈αof␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αrepresen␈α␈tations␈αis␈α
a␈αfascinating␈α
story,
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"since␈α∞it␈α∂parallels␈α∞the␈α∂dev␈α␈elopmen␈α␈t␈α∞of␈α∂civilization␈α∞itself.␈α↔W␈α⎇e␈α∂w␈α␈ould␈α∞be␈α∂going␈α∞far
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"a|eld␈αλif␈α	w␈α␈e␈α	w␈α␈ere␈α	to␈α	examine␈α	this␈αλhistory␈α	in␈α	min␈α␈ute␈α	detail,␈α	but␈α	it␈α	will␈α	be␈αλinstructiv␈α␈e
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"to␈αlo␈α↓ok␈αat␈αits␈αmain␈αfeatures␈αhere.
␈β∞j␈↓ α␈ε"The␈α∂earliest␈α∂forms␈α∂of␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞represen␈α␈tations,␈α⊂still␈α∂found␈α∂in␈↓ 	V␈ε"primitiv␈α␈e␈α∞cul-
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"tures,␈αare␈αgenerally␈αbased␈αon␈αgroups␈αof␈α|ngers,␈αpiles␈αof␈αstones,␈αetc.,␈αusually␈αwith
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"special␈α⊂con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈α⊂about␈α⊂replacing␈α⊂a␈α⊃larger␈α⊂pile␈α⊂or␈α⊂group␈α⊃of,␈α⊃sa␈α␈y,␈α⊃|v␈α␈e␈α⊂or␈α⊂ten
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"objects␈αby␈α
one␈α
object␈α
of␈αa␈α
special␈α
kind␈α
or␈αin␈α
a␈α
special␈α
place.␈α∩Such␈α
systems␈αlead
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"naturally␈αto␈αthe␈αearliest␈αw␈α␈a␈α␈ys␈αof␈αrepresen␈α␈ting␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αwritten␈αform,␈αas␈αin␈αthe
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"systems␈α⊂of␈α∂Babylonian,␈α⊃Egyptian,␈α⊃Greek,␈α⊃Chinese,␈α⊃and␈↓ λL␈ε"Roman␈α⊂n␈α␈umerals;␈α⊃but
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"such␈αn␈α↓otations␈αare␈αcomparativ␈α␈ely␈αincon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αfor␈αperforming␈αarithmetic␈αopera-
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"tions␈αexcept␈αin␈αthe␈αsimplest␈αcases.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"180␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"During␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈en␈α␈tieth␈α
cen␈α␈tury,␈α
historians␈α
of␈α
mathematics␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
made␈αexten-
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"siv␈α␈e␈α
studies␈α
of␈α
early␈α
cuneiform␈α
tablets␈α
found␈α
by␈α
archeologists␈α
in␈α
the␈α
Middle␈α
East.
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"These␈α	studies␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α	that␈α	the␈α
Babylonian␈α	people␈α
actually␈α	had␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	distinct␈α	systems
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"of␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αrepresen␈α␈tation:␈αNum␈α␈bers␈αused␈αin␈αev␈α␈eryda␈α␈y␈αbusiness␈αtransactions␈αw␈α␈ere
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"written␈αλin␈α	a␈αλn␈α↓otation␈α	based␈αλon␈α	grouping␈α	by␈αλtens,␈α	h␈α␈undreds,␈α
etc.;␈α	this␈α	n␈α↓otation␈αλw␈α␈as
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"inherited␈αλfrom␈αλearlier␈αλMesopotamian␈αλcivilizations,␈αλand␈αλlarge␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈αλw␈α␈ere␈αλseldom
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"required.␈α∂When␈α
m␈α↓ore␈α
di}cult␈α
mathematical␈α
problems␈α
w␈α␈ere␈α
considered,␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"Babylonian␈α∂mathematicians␈α∂made␈α∂extensiv␈α␈e␈α∂use␈α∂of␈α∂a␈↓ λ ␈ε"sexagesimal␈α∂(radix␈α∂sixt␈α␈y)
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"positional␈αn␈α↓otation␈αthat␈αw␈α␈as␈αhighly␈αdev␈α␈eloped␈αat␈αleast␈αas␈αearly␈αas␈α1750␈↓ 
f␈ε"This
␈β¬β␈↓ 
≤␈ε.B.C.
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓otation␈αλw␈α␈as␈α	unique␈α	in␈αλthat␈α	it␈α	w␈α␈as␈αλactually␈α	a␈↓ ε|␈ε/⎇oating␈αλpoin␈α␈t␈↓ λT␈ε"form␈α	of␈αλrepresen␈α␈tation
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"with␈αexponen␈α␈ts␈αomitted;␈αthe␈αproper␈αscale␈αfactor␈αor␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈αsixt␈α␈y␈αw␈α␈as␈αto␈αbe␈αsup-
␈β¬{␈↓ 
A␈ε%1
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"plied␈α	by␈α
the␈α	con␈α␈text,␈α
so␈α
that,␈α
for␈α	example,␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α	2,␈α
120,␈α
7200,␈α
and␈↓ 
e␈ε"w␈α␈ere
␈βε⊂␈↓ 
:␈ε%30
␈βε∪␈↓ 
:␈∧ε∪
:α∨
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"all␈α∞written␈α
in␈α∞an␈α∞iden␈α␈tical␈α∞manner.␈α⊗The␈α∞n␈α↓otation␈α∞w␈α␈as␈α∞especially␈α∞con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
for
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈α∞and␈α∞division,␈α∂using␈α∂auxiliary␈α∞tables,␈α∂since␈α∞radix-poin␈α␈t␈α∞alignmen␈α␈t
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"had␈αn␈α↓o␈αe{ect␈αon␈αthe␈αansw␈α␈er.␈α⊂As␈αexamples␈αof␈αthis␈αBabylonian␈αn␈α↓otation,␈αconsider
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"the␈αfollo␈α␈wing␈αexcerpts␈αfrom␈αearly␈αtables:␈αThe␈αsquare␈αof␈α30␈αis␈α15␈α(which␈αma␈α␈y␈αalso
␈βπS␈↓ ∧I␈ε%1␈↓ ¬⊂␈ε%1
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"be␈αread,␈α\The␈αsquare␈αof␈↓ ∧h␈ε"is␈↓ ¬#␈ε"");␈αthe␈αreciprocal␈αof␈α81␈α
=␈α
(1␈α21␈↓ 	␈ε")␈↓ 	C␈ε"is␈α(44␈α26␈α40␈↓ 
v␈ε")␈↓ "␈ε";
␈βπd␈↓ 	↔␈ε%6␈α↓0␈↓ α␈ε%6␈α↓0
␈βπh␈↓ ∧I␈ε%2␈↓ ¬⊂␈ε%4
␈βπk␈↓ ∧I␈∧πk∧Iα⊂␈↓ ¬⊂␈∧πk¬⊂α⊂
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"and␈α
the␈α
square␈α
of␈α
the␈α
latter␈α
is␈α(32␈α55␈α18␈α31␈α6␈α40␈↓ π+␈ε")␈↓ πW␈ε".␈α∂The␈α
Babylonians␈α
had␈α
a␈α
sym-
␈βλ∂␈↓ π7␈ε%60
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"bol␈α
for␈α∞zero,␈α∞but␈α∞because␈α
of␈α∞their␈α
\⎇oating␈α∞poin␈α␈t"␈α∞philosoph␈α␈y,␈α∞it␈α
w␈α␈as␈α∞used␈α
only
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"within␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
n␈α↓ot␈α
at␈α
the␈α
righ␈α␈t␈α
end␈α
to␈α
den␈α↓ote␈α
a␈α
scale␈α
factor.␈α∂F␈α⎇or␈α
the␈α
in␈α␈teresting
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"story␈αof␈αearly␈↓ β%␈ε"Babylonian␈αmathematics,␈αsee␈αO.␈↓ π+␈ε"Neugebauer,␈ε/␈αThe␈αExact␈αSciences
␈β	/␈↓ ↓H␈ε/in␈αAn␈α␈tiquit␈α␈y␈ε"␈α(Princeton,␈αN.␈αJ.:␈αPrinceton␈αUniv␈α␈ersit␈α␈y␈αPress,␈α1952),␈αand␈αB.␈αL.␈↓ 
u␈ε"v␈α}an
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"der␈α
W␈α⎇aerden,␈ε/␈α
Science␈α
Aw␈α␈ak␈α␈ening␈ε",␈α∞tr.␈α
by␈α
A.␈↓ πα␈ε"Dresden␈α
(Groningen:␈α∞P.␈α
No␈α↓ordh␈α↓o{,
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"1954);␈αsee␈αalso␈αD.␈αE.␈↓ ∧∩␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈αCA␈α␈CM␈ε2␈α15␈ε"␈α(1972),␈α671↑677;␈ε2␈α19␈ε"␈α(1976),␈α108.
␈β
4␈↓ α␈ε"Fixed␈αpoin␈α␈t␈αpositional␈αn␈α↓otation␈αw␈α␈as␈αapparen␈α␈tly␈α|rst␈αconceiv␈α␈ed␈αby␈αthe␈↓ 
W␈ε"Ma␈α␈y␈α␈a
␈β
`␈↓ ↓H␈ε"Indians␈α⊃in␈α⊃cen␈α␈tral␈α⊃America␈α⊃2000␈α⊃y␈α␈ears␈α⊃ago;␈α∀their␈↓ πr␈ε"radix-20␈α⊃system␈α⊃w␈α␈as␈α⊃highly
␈β␈↓ ↓H␈ε"dev␈α␈eloped,␈α	especially␈αλin␈α	connection␈αλwith␈α	astron␈α↓omical␈αλrecords␈α	and␈αλcalendar␈αλdates.
␈β6␈↓ ↓H␈ε"But␈α∞the␈α∞Spanish␈α∞conquerors␈α∞destro␈α␈y␈α␈ed␈α∞nearly␈α∞all␈α∞of␈α∞the␈α
Ma␈α␈y␈α␈a␈α∞bo␈α↓oks␈α∞on␈α∞history
␈βa␈↓ ↓H␈ε"and␈αscience,␈αso␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αcomparativ␈α␈ely␈αlittle␈αkn␈α↓o␈α␈wledge␈αabout␈αh␈α↓o␈α␈w␈αsophisticated
␈β␈↓ ↓H␈ε"the␈α
nativ␈α␈e␈α
Americans␈α∞had␈α
become␈α∞at␈α
arithmetic;␈α∞special-purpose␈α
m␈α␈ultiplication
␈β8␈↓ ↓H␈ε"tables␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂been␈α∂found,␈α⊂but␈α∞n␈α↓o␈α∂examples␈α∂of␈α∂division␈α∞are␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn␈α∂[cf.␈α∂J.␈α∂Eric␈α∞S.
␈βc␈↓ ↓H␈ε"Th␈α↓ompson,␈ε/␈αContributions␈αto␈αAmer.␈αAn␈α␈thropology␈αand␈αHistory␈ε2␈α7␈ε"␈α(Carnegie␈αInst.
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"of␈αW␈α⎇ashington,␈α1942),␈↓ ∧+␈ε"37↑62␈↓ ¬¬␈ε"].
␈β
=␈↓ α␈ε"Sev␈α␈eral␈α∂cen␈α␈turies␈α∂before␈α∂Christ,␈α∂the␈α∂Greek␈α∂people␈α∂emplo␈α␈y␈α␈ed␈α∂an␈↓ 
π␈ε"early␈α∞form
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞the␈↓ α5␈ε"abacus␈α∞to␈α∂do␈α∞their␈α∂arithmetical␈α∂calculations,␈α∂using␈α∞sand␈α∂and/or␈α∞pebbles
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"on␈α⊂a␈α⊂board␈α⊂that␈α⊂had␈α⊃ro␈α␈ws␈α⊂or␈α⊂columns␈α⊂corresponding␈α⊂in␈α⊃a␈α⊂natural␈α⊂w␈α␈a␈α␈y␈α⊂to␈α⊂our
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"decimal␈αsystem.␈α⊂It␈αis␈αperhaps␈αsurprising␈αto␈αus␈αthat␈αthe␈αsame␈αpositional␈αn␈α↓otation
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α
nev␈α␈er␈α
adapted␈α
to␈α
written␈αforms␈α
of␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞since␈α
w␈α␈e␈α
are␈α
so␈αaccustomed␈α
to
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"reck␈α␈oning␈αwith␈αthe␈αdecimal␈α
system␈αusing␈αpencil␈αand␈αpaper;␈α
but␈αthe␈αgreater␈αease
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"of␈α
calculating␈α
by␈α∞abacus␈α
(since␈α
handwriting␈α∞w␈α␈as␈α
n␈α↓ot␈α∞a␈α
comm␈α↓on␈α
skill,␈α∞and␈α
since
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"abacus␈αλcalculation␈α	mak␈α␈es␈α	it␈α	unnecessary␈αλto␈α	mem␈α↓orize␈α	addition␈α	and␈αλm␈α␈ultiplication
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"tables)␈α⊂probably␈α⊃made␈α⊂the␈α⊃Greeks␈α⊃feel␈α⊂it␈α⊃w␈α␈ould␈α⊂be␈α⊃silly␈α⊃ev␈α␈en␈α⊂to␈α⊃suggest␈α⊂that
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"computing␈α∞could␈α∂be␈α∞done␈α∂better␈α∞on␈α∂\scratch␈α∂paper."␈α↔A␈α␈t␈α∂the␈α∞same␈α∂time␈α∞Greek
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"astron␈α↓omers␈α⊃did␈α⊃mak␈α␈e␈α⊃use␈α⊃of␈α∩a␈α⊃sexagesimal␈α⊃positional␈α⊃n␈α↓otation␈α⊃for␈α⊃fractions,
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"which␈αthey␈αhad␈αlearned␈αfrom␈αthe␈αBabylonians.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"181
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα$␈↓ α␈ε"Our␈↓ αV␈ε"decimal␈α
n␈α↓otation,␈αwhich␈α
di{ers␈αfrom␈α
the␈αm␈α↓ore␈α
ancien␈α␈t␈αforms␈αprimarily
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"because␈α∞of␈α∂its␈α∂|xed␈α∂radix␈α∂poin␈α␈t,␈α∂together␈α∂with␈α∂its␈α∞sym␈α␈bol␈α∂for␈α∂zero␈α∂to␈α∂mark␈α∞an
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"empt␈α␈y␈α
position,␈α
w␈α␈as␈α
dev␈α␈eloped␈α
|rst␈α
in␈α
India␈α
within␈α
the␈α
Hindu␈α
culture.␈α∂The␈α
exact
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"date␈αwhen␈αthis␈αn␈α↓otation␈α|rst␈α
appeared␈αis␈αquite␈αuncertain;␈αabout␈α
600␈↓ 
R␈ε"seems
␈ββ+␈↓ 
β␈ε.A.D.
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂be␈α⊂a␈α∂go␈α↓od␈α⊂guess.␈↓ ∧≡␈ε"Hindu␈α∂science␈α⊂w␈α␈as␈α⊂rather␈α∂highly␈α⊂dev␈α␈eloped␈α∂at␈α⊂that␈α∂time,
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"particularly␈α⊂in␈α⊂astron␈α↓om␈α␈y.␈α≤The␈α⊃earliest␈α⊂kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊂Hindu␈α⊂man␈α␈uscripts␈α⊂that␈α⊂sh␈α↓o␈α␈w
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"this␈α∞n␈α↓otation␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞written␈α∞backw␈α␈ards␈α∞(with␈α∞the␈α
m␈α↓ost␈α∞signi|can␈α␈t␈α∞digit
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"at␈α∞the␈α
righ␈α␈t),␈α∂but␈α∞so␈α↓on␈α∞it␈α
became␈α∞standard␈α∞to␈α∞put␈α∞the␈α∞m␈α↓ost␈α∞signi|can␈α␈t␈α∞digit␈α
at
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"the␈αle$.
␈β¬)␈↓ α␈ε"About␈α∂750␈↓ ∧ε␈ε",␈α⊂the␈α∂Hindu␈↓ ¬P␈ε"principles␈α⊂of␈α∂decimal␈α∂arithmetic␈α∂w␈α␈ere␈α∂brough␈α␈t
␈β¬.␈↓ βB␈ε.A␈α↓.D.
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"to␈αPersia,␈αas␈αsev␈α␈eral␈αimportan␈α␈t␈αw␈α␈orks␈αw␈α␈ere␈αtranslated␈αin␈α␈to␈αArabic;␈αa␈αpicturesque
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"accoun␈α␈t␈α⊂of␈α⊂this␈α⊂dev␈α␈elopmen␈α␈t␈α⊃is␈α⊂giv␈α␈en␈α⊂in␈α⊂a␈α⊂Hebrew␈α⊃documen␈α␈t,␈α⊃which␈α⊂has␈α⊂been
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"translated␈α⊃in␈α␈to␈α∩English␈α∩in␈ε/␈α⊃AMM␈ε2␈α∩15␈ε"␈α⊃(1918),␈α∀99↑108.␈α Not␈α∩long␈α∩a$er␈α⊃this,␈↓ ∧␈ε"al-
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"Kh␈α␈w␈↓ α⊃␈ε"∂␈↓ α⊃␈ε"a␈↓ α#␈ε"rizm␈↓ αe␈ε"∂␈↓ αi␈ε"␈↓ α␈␈ε"wrote␈α
his␈α
Arabic␈α
textbo␈α↓ok␈α
on␈α
the␈αsubject.␈α≠(As␈α
n␈α↓oted␈α
in␈α
Chapter␈α1,
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"our␈α
w␈α␈ord␈α∞\algorithm"␈α∞comes␈α
from␈α∞al-Kh␈α␈w␈↓ εb␈ε"∂␈↓ εb␈ε"a␈↓ εt␈ε"rizm␈↓ π6␈ε"∂␈↓ π:␈ε"␈↓ πD␈ε"'s␈α
name.)␈α≥His␈α
w␈α␈ork␈α∞w␈α␈as␈α
trans-
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"lated␈α⊂in␈α␈to␈α⊃Latin␈α⊂and␈α⊃w␈α␈as␈α⊂a␈α⊃strong␈α⊂in⎇uence␈α⊃on␈↓ πT␈ε"Leonardo␈α⊃Pisan␈α↓o␈α⊂(␈↓ 	}␈ε"Fibonacci),
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"wh␈α↓ose␈α∞bo␈α↓ok␈α∂on␈α∞arithmetic␈α∂(1202␈↓ ε≤␈ε")␈α∞pla␈α␈y␈α␈ed␈α∂a␈α∞major␈α∂role␈α∞in␈α∞the␈α∂spreading␈α∞of
␈βπ\␈↓ ¬X␈ε.A.D.
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"Hindu-Arabic␈αλn␈α␈umerals␈α	in␈α␈to␈α	Europe.␈α∂It␈αλis␈α	in␈α␈teresting␈α	to␈αλn␈α↓ote␈α	that␈α	the␈αλle$-to-righ␈α␈t
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"order␈αof␈αwriting␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αw␈α␈as␈αunchanged␈αduring␈αthese␈αt␈α␈w␈α␈o␈αtransitions,␈αalth␈α↓ough
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"Arabic␈α∂is␈α⊂written␈α⊂from␈α⊂righ␈α␈t␈α⊂to␈α⊂le$␈α∂while␈α⊂Hindu␈α⊂and␈α⊂Latin␈α⊂sch␈α↓olars␈α∂generally
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"wrote␈α∞from␈α∞le$␈α∂to␈α∞righ␈α␈t.␈α_A␈α∞detailed␈α∞accoun␈α␈t␈α∂of␈α∞the␈α∂subsequen␈α␈t␈α∞propagation␈α∞of
␈β	/␈↓ ↓H␈ε"decimal␈α∞n␈α␈umeration␈α∂and␈α∂arithmetic␈α∂in␈α␈to␈α∂all␈α∞parts␈α∂of␈α∂Europe␈α∂during␈α∂the␈α∞period
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"from␈α1200␈αto␈α1600␈↓ ∧>␈ε"has␈αbeen␈αgiv␈α␈en␈αby␈αDa␈α␈vid␈αEugene␈↓ λF␈ε"Smith␈αin␈αhis␈ε/␈αHistory␈αof
␈β	←␈↓ βo␈ε.A␈α↓.D.
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε/Mathematics␈ε2␈α1␈ε"␈α(Boston:␈αGinn␈αand␈αCo.,␈α1923),␈αChapters␈α6␈αand␈α8.
␈β
1␈↓ α␈ε"Decimal␈α
n␈α↓otation␈α
w␈α␈as␈α
applied␈α
at␈α
|rst␈α
only␈α
to␈αin␈α␈teger␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞n␈α↓ot␈α
to␈αfrac-
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"tions.␈α⊂Arabic␈αastron␈α↓omers,␈αwh␈α↓o␈αrequired␈αfractions␈αin␈αtheir␈αstar␈αcharts␈αand␈αother
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"tables,␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α	to␈α
use␈α	the␈α
n␈α↓otation␈α
of␈↓ ε0␈ε"Ptolem␈α␈y␈α
(the␈α	fam␈α↓ous␈α
Greek␈α	astron␈α↓omer),
␈β2␈↓ ↓H␈ε"a␈α
n␈α↓otation␈α∞based␈α∞on␈↓ ∧∪␈ε"sexagesimal␈α∞fractions.␈α∃This␈α
system␈α∞still␈α∞surviv␈α␈es␈α
toda␈α␈y,␈α∞in
␈β↑␈↓ ↓H␈ε"our␈α
trigon␈α↓ometric␈α
units␈α
of␈α
\degrees,␈αmin␈α␈utes,␈α
and␈α
seconds,"␈αand␈α
also␈α
in␈α
our␈α
units
␈β	␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂time,␈α∂as␈α∂a␈α∂remnan␈α␈t␈α∂of␈α∂the␈α∂original␈α∂Babylonian␈α∂sexagesimal␈α∂n␈α↓otation.␈α_Early
␈β4␈↓ ↓H␈ε"European␈α⊃mathematicians␈α∩also␈α⊃used␈α∩sexagesimal␈α∩fractions␈α⊃when␈α∩dealing␈α⊃with
␈β←␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓onin␈α␈teger␈αn␈α␈um␈α␈bers;␈αfor␈αexample,␈αFibonacci␈αga␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αv␈α}alue
␈β
→␈↓ ∧␈␈ε8¬
␈β
≠␈↓ ¬>␈ε90␈↓ ¬d␈ε900␈↓ ε#␈ε9000
␈β
!␈↓ εk␈ε-I␈↓ εs␈ε-V␈↓ π%␈ε-V␈↓ πi␈ε-V␈↓ πv␈ε-I
␈β
#␈↓ ∧q␈ε"1␈↓ ¬~␈ε"2␈↓ ¬,␈ε"2␈↓ ¬R␈ε"7␈↓ ¬␈␈ε"4␈↓ ε⊃␈ε"2␈↓ εG␈ε"3␈↓ εY␈ε"3␈↓ π∪␈ε"4␈↓ πE␈ε"4␈↓ πW␈ε"0
␈β
`␈↓ πm␈ε%3␈↓ λZ␈ε%2
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"as␈α∞an␈α
appro␈α␈ximation␈α∞to␈α∞the␈α∞ro␈α↓ot␈α∞of␈α∞the␈α∞equation␈↓ πY␈ε(x␈↓ λπ␈ε"+␈α	2␈↓ λF␈ε(x␈↓ λt␈ε"+␈α	10␈ε(x␈ε"␈α∞=␈α
20.␈α≤(The
␈β∞	␈↓ βi␈ε8¬
␈β∞␈↓ ∧*␈ε90␈↓ ∧R␈ε900␈↓ ¬∪␈ε9000
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"correct␈αansw␈α␈er␈αis␈↓ β[␈ε"1␈↓ ∧ε␈ε"2␈↓ ∧_␈ε"2␈↓ ∧@␈ε"7␈↓ ∧o␈ε"4␈↓ ¬↓␈ε"2␈↓ ¬9␈ε"3␈↓ ¬K␈ε"3␈↓ ¬]␈ε-I␈↓ ¬e␈ε-V␈↓ επ␈ε"4␈↓ ε→␈ε-V␈↓ ε;␈ε"3␈↓ εM␈ε"8␈↓ ε←␈ε-V␈↓ εk␈ε-I␈↓ π¬␈ε"3␈↓ π↔␈ε"0␈↓ π)␈ε-V␈↓ π6␈ε-I␈↓ π>␈ε-I␈↓ πX␈ε"5␈↓ πj␈ε"0␈↓ π|␈ε-V␈↓ λ	␈ε-I␈↓ λ⊃␈ε-I␈↓ λ→␈ε-I␈↓ λ3␈ε"1␈↓ λE␈ε"5␈↓ λW␈ε-I␈↓ λ`␈ε-X␈↓ 	β␈ε"4␈↓ 	∃␈ε"3␈↓ 	'␈ε-X␈↓ 	K␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
↓␈ε".)
␈β∞=␈↓ α␈ε"The␈α∞use␈α∞of␈α∞decimal␈α∂n␈α↓otation␈α∞also␈α∞for␈α∞ten␈α␈ths,␈α∂h␈α␈undredths,␈α∞etc.,␈α∂in␈α∞a␈α∞similar
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y␈α⊂seems␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂a␈α⊂comparativ␈α␈ely␈α⊂min␈α↓or␈α⊂change;␈α∪but,␈α⊃of␈α⊂course,␈α⊃it␈α⊂is␈α⊂hard␈α⊂to
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"break␈αwith␈αtradition,␈αand␈αsexagesimal␈αfractions␈αha␈α␈v␈α␈e␈αan␈αadv␈α}an␈α␈tage␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ 
4␈ε"decimal
␈β∂:␈↓ ¬f␈ε%1
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"fractions␈αin␈αthat␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αsuch␈αas␈↓ ε¬␈ε"can␈αbe␈αexpressed␈αexactly,␈αin␈αa␈αsimple␈αw␈α␈a␈α␈y.
␈β∂O␈↓ ¬f␈ε%3
␈β∂R␈↓ ¬f␈∧∂R¬fα⊂
␈β∂i␈↓ α␈ε"Chinese␈α⊃mathematicians←wh␈α↓o␈α∩nev␈α␈er␈α⊃used␈α⊃sexagesimals←w␈α␈ere␈α⊃apparen␈α␈tly
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"the␈α|rst␈αpeople␈αto␈αw␈α␈ork␈αwith␈αthe␈αequiv␈α}alen␈α␈t␈αof␈αdecimal␈αfractions,␈αalth␈α↓ough␈αtheir
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈umeral␈αsystem␈α
(lacking␈αzero)␈αw␈α␈as␈α
n␈α↓ot␈αoriginally␈α
a␈αpositional␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αsystem␈αin
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞strict␈α∂sense.␈α_Chinese␈α∂units␈α∞of␈α∂w␈α␈eigh␈α␈ts␈α∂and␈α∞measures␈α∂w␈α␈ere␈α∞decimal,␈α⊂so␈α∞that
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"Tsu␈αChh␈α␈ung-Chih␈α(wh␈α↓o␈αdied␈αc.␈α500␈↓ εB␈ε")␈αw␈α␈as␈↓ π∨␈ε"able␈αto␈αexpress␈αan␈αappro␈α␈ximation
␈β⊃≠␈↓ ¬}␈ε.A.␈α↓D.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"182␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"to␈↓ ↓t␈ε(→␈↓ α⊗␈ε"in␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αform:
␈βαe␈↓ αt␈ε"3␈αchang,␈α1␈αchhih,␈α4␈αtsh␈α␈un,␈α1␈αf␈↓ εB␈ε"∂␈↓ εC␈ε"e␈↓ εS␈ε"n,␈α5␈αli,␈α9␈αhao,␈α2␈αmiao,␈α7␈αh␈α␈u.
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε"Here␈α	chang,␈↓ β	␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β9␈ε",␈α	h␈α␈u␈α	are␈α
units␈α	of␈α	length;␈α
1␈α	h␈α␈u␈α	(the␈α
diameter␈α	of␈α	a␈α	silk␈↓ 	Q␈ε"thread)␈α	equals
␈ββP␈↓ ↓H␈ε"1/10␈αmiao,␈α∞etc.␈α∩The␈α
use␈α
of␈αsuch␈α
decimal-lik␈α␈e␈α
fractions␈α
w␈α␈as␈α
fairly␈α
widespread␈αin
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"China␈αa$er␈αabout␈α1250
␈β∧↓␈↓ ∧B␈ε.A.D.
␈β∧'␈↓ α␈ε"The␈α|rst␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αappearance␈αof␈αdecimal␈αfractions␈αin␈αa␈αtrue␈αpositional␈αsystem
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"occurs␈α⊃in␈α⊂a␈α⊃10th-cen␈α␈tury␈α⊃arithmetic␈α⊃text␈α⊃written␈α⊃in␈α⊃Damascus␈α⊃by␈α⊃an␈α⊂obscure
␈β∧w␈↓ 
h␈ε90
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈ε"mathematician␈α∞named␈↓ ∧7␈ε"al-Uql␈↓ ¬⊃␈ε"∂␈↓ ¬∃␈ε"␈↓ ¬∨␈ε"dis␈↓ ¬G␈ε"∂␈↓ ¬K␈ε"␈↓ ¬d␈ε"(\the␈α∂Euclidean").␈α_He␈α∂used␈α∂the␈α∞sym␈α␈bol␈↓ ␈ε"for
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε"a␈α⊂decimal␈α⊃poin␈α␈t,␈α∩for␈α⊂example␈α⊃in␈α⊂connection␈α⊃with␈α⊃a␈α⊂problem␈α⊃about␈α⊂compound
␈β¬M␈↓ εr␈ε+n
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈terest,␈αthe␈αcomputation␈αof␈α135␈αtimes␈α(1.1␈↓ εf␈ε")␈↓ π∩␈ε"for␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
n␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
5.␈α_[See␈αA.␈αS.␈↓ 
8␈ε"Saidan,
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε/The␈α∞Arithmetic␈α∞of␈α
al-Uql␈↓ ∧Q␈ε/∩␈↓ ∧U␈ε/␈↓ ∧←␈ε/dis␈↓ ¬π␈ε/∩␈↓ ¬␈ε/␈↓ ¬#␈ε"(Dordrech␈α␈t:␈α⊂D.␈α∞Reidel,␈α∂1975),␈α∞110,␈α∂114,␈α∞343,␈α∞355,
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"481↑485.]␈α≡But␈α∂he␈α∂did␈α∂n␈α↓ot␈α∂dev␈α␈elop␈α∂the␈α∂idea␈α∂v␈α␈ery␈α∂fully,␈α⊂and␈α∂his␈α∂trick␈α∞w␈α␈as␈α∂so␈α↓on
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"forgotten;␈α∩|v␈α␈e␈α⊂cen␈α␈turies␈α⊂passed␈α⊂before␈α⊂decimal␈α⊂fractions␈α∂w␈α␈ere␈α⊂rein␈α␈v␈α␈en␈α␈ted␈α⊂by␈α⊂a
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"Persian␈αλmathematician,␈↓ ∧A␈ε"al-Kash␈↓ ¬5␈ε"∂␈↓ ¬9␈ε"␈↓ ¬C␈ε",␈α	wh␈α↓o␈αλdied␈αλc.␈αλ1436.␈α∂Al-Kash␈↓ λh␈ε"∂␈↓ λl␈ε"␈↓ λ}␈ε"w␈α␈as␈αλa␈αλhighly␈αλskillful
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"calculator,␈αwh␈α↓o␈αga␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αv␈α}alue␈αof␈α2␈↓ ¬m␈ε(→␈↓ ε∂␈ε"as␈αfollo␈α␈ws,␈αcorrect␈αto␈α16␈αdecimal␈αplaces:
␈βπi␈↓ ↓]␈∧πi↓]α	:
␈βπk␈↓ ↓]␈∧πk↓]:α␈↓ β	␈∧πkβ	:α␈↓ ∃␈∧πk∃:α
␈βπv␈↓ ↓}␈ε"in␈α␈teger␈↓ εL␈ε"fractions
␈βλ$␈↓ ↓]␈∧λ$↓]α	:
␈βλ&␈↓ ↓]␈∧λ&↓]:α␈↓ α3␈∧λ&α3:α␈↓ β	␈∧λ&β	:α␈↓ βI␈∧λ&βI:α␈↓ ∧
␈∧λ&∧
:α␈↓ ∧K␈∧λ&∧K:α␈↓ ¬␈∧λ&¬:α␈↓ ¬M␈∧λ&¬M:α␈↓ ε
␈∧λ&ε
:α␈↓ εN␈∧λ&εN:α␈↓ π∂␈∧λ&π∂:α␈↓ πP␈∧λ&πP:α␈↓ λ⊃␈∧λ&λ⊃:α␈↓ λQ␈∧λ&λQ:α␈↓ 	∩␈∧λ&	∩:α␈↓ 	S␈∧λ&	S:α␈↓ 
∀␈∧λ&
∀:α␈↓ 
U␈∧λ&
U:α␈↓ ∃␈∧λ&∃:α
␈βλ1␈↓ α␈ε"0␈↓ αU␈ε"6␈↓ β!␈ε"2␈↓ βb␈ε"8␈↓ ∧"␈ε"3␈↓ ∧c␈ε"1␈↓ ¬$␈ε"8␈↓ ¬e␈ε"5␈↓ ε&␈ε"3␈↓ εf␈ε"0␈↓ π'␈ε"7␈↓ πh␈ε"1␈↓ λ)␈ε"7␈↓ λj␈ε"9␈↓ 	*␈ε"5␈↓ 	k␈ε"8␈↓ 
,␈ε"6␈↓ 
m␈ε"5
␈βλ`␈↓ ↓]␈∧λ`↓]α	:
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"This␈α
w␈α␈as␈α
by␈α∞far␈α
the␈α∞best␈α
appro␈α␈ximation␈α
to␈↓ ε|␈ε(→␈↓ π∨␈ε"kn␈α↓o␈α␈wn␈α
un␈α␈til␈α∞Ludolph␈↓ 	|␈ε"v␈α}an␈α
Ceulen
␈β	/␈↓ ↓H␈ε"laboriously␈αcalculated␈α35␈αdecimal␈αplaces␈αduring␈αthe␈αperiod␈α1596↑1610.
␈β	Z␈↓ α␈ε"The␈α
earliest␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α
example␈α
of␈α
decimal␈α
fractions␈α
in␈α
Europe␈α
occurs␈α
in␈α
a␈α
15th-
␈β
¬␈↓ ↓H␈ε"cen␈α␈tury␈αλtext␈α	where,␈α	for␈α	example,␈α	153.5␈α	is␈αλm␈α␈ultiplied␈α	by␈α	16.25␈αλto␈α	get␈α	2494.375;␈α	this
␈β
0␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α
referred␈α∞to␈α∞as␈α∞a␈α∞\T␈α⎇urkish␈α∞meth␈α↓od."␈α∃In␈α∞1525,␈α∞Christof␈↓ λo␈ε"Rudol{␈α∞of␈α
German␈α␈y
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈ered␈α⊃decimal␈α∩fractions␈α∩for␈α∩himself;␈α∀but␈α∩lik␈α␈e␈α∩al-Uql␈↓ λU␈ε"∂␈↓ λY␈ε"␈↓ λc␈ε"dis␈↓ 	␈ε"∂␈↓ 	∂␈ε"␈↓ 	→␈ε",␈α∪his␈α∩w␈α␈ork␈α⊃seems
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂had␈α∂little␈α⊂in⎇uence.␈α~F␈α⎇ran␈↓ ¬b␈ε"_␈↓ ¬h␈ε"c␈↓ ¬x␈ε"ois␈↓ ε2␈ε"Vi␈↓ εU␈ε"␈
␈↓ εV␈ε"e␈↓ εf␈ε"te␈α∂suggested␈α∂the␈α⊂idea␈α∂again␈α⊂in␈α∂1579.
␈β2␈↓ ↓H␈ε"Finally,␈αan␈αarithmetic␈αtext␈αby␈αSim␈α↓on␈↓ ε≤␈ε"Stevin␈αof␈αBelgium,␈αwh␈α↓o␈αindependen␈α␈tly␈αhit
␈β]␈↓ ↓H␈ε"on␈α
the␈α
idea␈α
of␈αdecimal␈α
fractions␈α
in␈α
1585,␈αbecame␈α
popular.␈α∂Stevin's␈αw␈α␈ork,␈α
and␈α
the
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"disco␈α␈v␈α␈ery␈α∞of␈α∞logarithms␈α∞so␈α↓on␈α∞a$erw␈α␈ards,␈α∂made␈α∞decimal␈α∞fractions␈α∞comm␈α↓onplace
␈β4␈↓ ↓H␈ε"in␈αEurope␈αduring␈αthe␈α17th␈αcen␈α␈tury.␈α↔[See␈αD.␈αE.␈↓ π*␈ε"Smith,␈ε/␈αHistory␈αof␈αMathematics␈ε2␈α2
␈β←␈↓ ↓H␈ε"(Boston:␈α
Ginn␈α
and␈α
Co.,␈α
1925),␈α
228↑247,␈α
and␈α
C.␈α	B.␈↓ πQ␈ε"Bo␈α␈y␈α␈er,␈ε/␈α
History␈α
of␈α	Mathematics
␈β
␈↓ ↓H␈ε"(New␈αY␈α⎇ork:␈αWiley,␈α1968),␈αfor␈αfurther␈αremarks␈αand␈αreferences.]
␈β
;␈↓ α␈ε"The␈↓ αU␈ε"binary␈αsystem␈αof␈αn␈α↓otation␈αhas␈αits␈αo␈α␈wn␈αin␈α␈teresting␈αhistory.␈α⊂Man␈α␈y␈αprimi-
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"tiv␈α␈e␈α⊂tribes␈α⊂in␈α⊂existence␈α⊂toda␈α␈y␈α⊃are␈α⊂kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊂to␈α⊂use␈α⊂a␈α⊃binary␈α⊂or␈α⊂\pair"␈α⊂system␈α⊂of
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"coun␈α␈ting␈α(making␈αgroups␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αinstead␈αof␈α|v␈α␈e␈αor␈αten),␈αbut␈αthey␈αdo␈αn␈α↓ot␈αcoun␈α␈t␈αin
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"a␈α
true␈α
radix-2␈α
system,␈α
since␈α
they␈α
do␈α
n␈α↓ot␈α
treat␈α
po␈α␈w␈α␈ers␈α
of␈α
2␈α
in␈α
a␈α
special␈α
manner.
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"See␈ε/␈α∞The␈α∂Di{usion␈α∂of␈α∂Coun␈α␈ting␈α∂Practices␈ε"␈α∂by␈α∞Abraham␈↓ λ0␈ε"Seiden␈α␈berg,␈ε/␈α⊂Univ.␈α∞Calif.
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε/Publ.␈αin␈αMath.␈ε2␈α3␈ε"␈α(1960),␈α215↑300,␈αfor␈αin␈α␈teresting␈↓ πG␈ε"details␈αabout␈αprimitiv␈α␈e␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"systems.␈α≤An␈α↓other␈α⊃\primitiv␈α␈e"␈α⊂example␈α⊂of␈α⊂an␈α⊃essen␈α␈tially␈α⊂binary␈α⊂system␈α⊂is␈α⊂the
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈αm␈α␈usical␈αn␈α↓otation␈αfor␈αexpressing␈αrh␈α␈ythms␈αand␈αdurations␈αof␈αtime.
␈β⊂∃␈↓ α␈ε"Nondecimal␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃systems␈α∩w␈α␈ere␈α⊃discussed␈α⊃in␈α⊃Europe␈α⊃during␈α⊃the␈α⊃sev␈α␈en-
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"teen␈α␈th␈αcen␈α␈tury.␈α⊃F␈α⎇or␈α
man␈α␈y␈αy␈α␈ears␈α
astron␈α↓omers␈αhad␈α
occasionally␈αused␈↓ 	t␈ε"sexagesimal
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈α∞both␈α∂for␈α∂the␈α∂in␈α␈teger␈α∞and␈α∂the␈α∂fractional␈α∂parts␈α∞of␈α∂n␈α␈um␈α␈bers,␈α∂primarily
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"when␈α∞performing␈α∂m␈α␈ultiplication␈α∞[see␈α∂John␈↓ εn␈ε"W␈α⎇allis,␈ε/␈α∂T␈α⎇reatise␈α∞of␈α∂Algebra␈ε"␈α∞(Oxford,
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"183
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"1685),␈α18↑22,␈α30].␈α⊃The␈αfact␈αthat␈ε/␈α
an␈α␈y␈ε"␈αin␈α␈teger␈αgreater␈αthan␈α
1␈αcould␈αserv␈α␈e␈αas␈αradix
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α
apparen␈α␈tly␈α
|rst␈αstated␈α
in␈α
prin␈α␈t␈αby␈α
Blaise␈↓ ππ␈ε"Pascal␈α
in␈ε/␈αDe␈α
n␈α␈umeris␈α
m␈α␈ultiplicibus␈ε",
␈βαq␈↓ 
-␈ε"∞
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"which␈α
w␈α␈as␈α
written␈α
about␈α
1658␈α
[see␈α∞Pascal's␈ε/␈α
∨uvres␈α
Compl␈↓ λl␈ε/␈
␈↓ λm␈ε/e␈↓ λ⎇␈ε/tes␈ε"␈α
(Paris:␈↓ 
*␈ε"E␈↓ 
B␈ε"ditions
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"de␈α⊃Seuil,␈α∩1963),␈α∩84↑89].␈α∨Pascal␈α⊃wrote,␈α∩\Denaria␈α⊃enim␈α⊃ex␈α⊃institute␈α⊂h␈α↓omin␈α␈um,
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓on␈αex␈αnecessitate␈αnatur≤␈αut␈αvulgus␈αarbitratur,␈αet␈αsane␈αsatis␈αinepte,␈αposita␈αest";
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"i.e.,␈α∞\The␈↓ αl␈ε"decimal␈α∞system␈α∞has␈α∞been␈α
established,␈α∂somewhat␈α∞fo␈α↓olishly␈α∞to␈α∞be␈α
sure,
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"according␈α
to␈α
man's␈α
custom,␈α
n␈α↓ot␈α∞from␈α
a␈α
natural␈α
necessit␈α␈y␈α
as␈α
m␈α↓ost␈α
people␈α
w␈α␈ould
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"think."␈α∂He␈α	stated␈α
that␈α	the␈↓ ∧k␈ε"duodecimal␈α	(radix␈α
t␈α␈w␈α␈elv␈α␈e)␈α	system␈α
w␈α␈ould␈α	be␈α
a␈α	w␈α␈elcome
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"change,␈α∞and␈α∞he␈α∞ga␈α␈v␈α␈e␈α∞a␈α∞rule␈α∞for␈α∞testing␈α∞a␈α∞duodecimal␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞for␈α
divisibilit␈α␈y␈α∞by
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"nine.␈α∂Erhard␈↓ β≠␈ε"W␈α⎇eigel␈α
tried␈α
to␈α
drum␈α
up␈α
en␈α␈th␈α␈usiasm␈α
for␈α
the␈α
quaternary␈α	(radix␈α
four)
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"system␈α∂in␈α∂a␈α∂series␈α⊂of␈α∂publications␈α∂beginning␈α⊂in␈α∂1673.␈α~A␈α∂detailed␈α∂discussion␈α∂of
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈ε"radix-t␈α␈w␈α␈elv␈α␈e␈αarithmetic␈αw␈α␈as␈αgiv␈α␈en␈αby␈αJosh␈α␈ua␈↓ π∞␈ε"Jordaine,␈ε/␈αDuodecimal␈αArithmetick
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"(London,␈α1687).
␈βεT␈↓ α␈ε"Alth␈α↓ough␈αλdecimal␈α	n␈α↓otation␈αλw␈α␈as␈α	alm␈α↓ost␈αλexclusiv␈α␈ely␈αλused␈α	for␈αλarithmetic␈αλduring
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"that␈α∂era,␈α⊃other␈α⊂systems␈α⊂of␈α∂w␈α␈eigh␈α␈ts␈α⊂and␈α⊂measures␈α⊂w␈α␈ere␈α∂rarely␈α⊂if␈α⊂ev␈α␈er␈α⊂based␈α∂on
␈βπ*␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiples␈αof␈α
10,␈αand␈α
man␈α␈y␈αbusiness␈α
transactions␈αrequired␈α
a␈αgo␈α↓od␈α
deal␈αof␈α
skill␈αin
␈βπU␈↓ ↓H␈ε"adding␈αquan␈α␈tities␈αsuch␈αas␈αpounds,␈αshillings,␈αand␈αpence.␈α⊂F␈α⎇or␈αcen␈α␈turies␈αmerchan␈α␈ts
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"had␈α∞therefore␈α∞learned␈α∂to␈α∞compute␈α∂sums␈α∞and␈α∞di{erences␈α∂of␈α∞quan␈α␈tities␈α∞expressed
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε"in␈α∩peculiar␈α∪units␈α∪of␈α∩currency,␈α∃w␈α␈eigh␈α␈ts,␈α∀and␈α∪measures;␈α∃and␈α∪this␈α∪w␈α␈as␈α∩actually
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈α	in␈α
a␈α	n␈α↓ondecimal␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
system.␈α∂The␈α
comm␈α↓on␈α	units␈α
of␈↓ 	K␈ε"liquid␈α	measure
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"in␈α
England,␈α
dating␈α
from␈α
the␈α
13th␈αcen␈α␈tury␈α
or␈α
earlier,␈α
are␈α
particularly␈α
n␈α↓otew␈α␈orth␈α␈y:
␈β	G␈↓ αq␈ε"2␈αgills␈↓ βW␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"1␈αch␈α↓opin
␈β	\␈↓ ε≠␈ε"2␈αdemibushels␈↓ λ↓␈ε"=␈↓ λ/␈ε"1␈αbushel␈αor␈α|rkin
␈β	r␈↓ α8␈ε"2␈αch␈α↓opins␈↓ βW␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"1␈αpin␈α␈t
␈β
π␈↓ εw␈ε"2␈α|rkins␈↓ λ↓␈ε"=␈↓ λ/␈ε"1␈αkilderkin
␈β
≥␈↓ αb␈ε"2␈αpin␈α␈ts␈↓ βW␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"1␈αquart
␈β
3␈↓ ε?␈ε"2␈αkilderkins␈↓ λ↓␈ε"=␈↓ λ/␈ε"1␈αbarrel
␈β
H␈↓ αM␈ε"2␈αquarts␈↓ βW␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"1␈αpottle
␈β
↑␈↓ εo␈ε"2␈αbarrels␈↓ λ↓␈ε"=␈↓ λ/␈ε"1␈αh␈α↓ogshead
␈β
s␈↓ αE␈ε"2␈αpottles␈↓ βW␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"1␈αgallon
␈β	␈↓ ε:␈ε"2␈αh␈α↓ogsheads␈↓ λ↓␈ε"=␈↓ λ/␈ε"1␈αpipe
␈β∨␈↓ αC␈ε"2␈αgallons␈↓ βW␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"1␈αpeck
␈β4␈↓ π	␈ε"2␈αpipes␈↓ λ↓␈ε"=␈↓ λ/␈ε"1␈αtun
␈βJ␈↓ αY␈ε"2␈αpecks␈↓ βW␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε"1␈αdemibushel
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"Quan␈α␈tities␈α
of␈α
liquid␈α
expressed␈α
in␈α
gallons,␈α
pottles,␈α
quarts,␈α
pin␈α␈ts,␈α
etc.␈α
w␈α␈ere␈α
essen-
␈β9␈↓ ↓H␈ε"tially␈α	written␈α	in␈α
binary␈α	n␈α↓otation.␈α∂Perhaps␈α
the␈α	true␈α	in␈α␈v␈α␈en␈α␈tors␈α
of␈α	binary␈α	arithmetic
␈βe␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ere␈αEnglish␈αwine␈αmerchan␈α␈ts!
␈β
⊂␈↓ α␈ε"The␈α
|rst␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α
appearance␈α
of␈α
pure␈α
binary␈α
n␈α↓otation␈α
w␈α␈as␈α
about␈α
1605␈α	in␈α
some
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"unpublished␈α
man␈α␈uscripts␈α
of␈α
Th␈α↓omas␈↓ ελ␈ε"Harriot␈α
(1560↑1621).␈α∂Harriot␈α
w␈α␈as␈α
a␈α
creativ␈α␈e
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"man,␈αwh␈α↓o␈α
|rst␈αbecame␈α
fam␈α↓ous␈αby␈α
coming␈αto␈α
America␈αas␈α
a␈αrepresen␈α␈tativ␈α␈e␈α
of␈αSir
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇alter␈↓ α;␈ε"Raleigh.␈α⊂He␈α
in␈α␈v␈α␈en␈α␈ted␈α(am␈α↓ong␈α
other␈αthings)␈α
a␈αn␈α↓otation␈α
lik␈α␈e␈α
that␈αn␈α↓o␈α␈w␈α
used
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"for␈α
\less␈α∞than"␈α
and␈α∞\greater␈α
than"␈α∞relations;␈α∞but␈α∞for␈α
some␈α∞reason␈α
he␈α∞ch␈α↓ose␈α
n␈α↓ot
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"to␈α
publish␈αman␈α␈y␈α
of␈αhis␈α
disco␈α␈v␈α␈eries.␈α⊂Excerpts␈αfrom␈α
his␈αn␈α↓otes␈α
on␈αbinary␈α
arithmetic
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αreproduced␈αby␈αJohn␈αW.␈↓ ¬j␈ε"Shirley,␈ε/␈αAmer.␈αJ.␈αPh␈α␈ysics␈ε2␈α19␈ε"␈α(1951),␈α452↑454.
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"The␈α
|rst␈αpublished␈α
discussion␈αof␈α
the␈αbinary␈αsystem␈α
w␈α␈as␈αgiv␈α␈en␈α
in␈αa␈α
comparativ␈α␈ely
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"little-kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊃w␈α␈ork␈α⊂by␈α⊃a␈α⊃Spanish␈α⊃bish␈α↓op,␈α∩Juan␈↓ π:␈ε"Caram␈α␈uel␈α⊃Lobk␈α␈o␈α␈witz,␈ε/␈α∩Mathesis
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε/biceps␈ε2␈α⊃1␈ε"␈α⊃(Campani≤,␈α∩1670),␈α∪45↑48;␈α∪Caram␈α␈uel␈α⊃discussed␈α⊃the␈α⊃represen␈α␈tation␈α⊃of
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈↓ α\␈ε"in␈α⊂radices␈α⊂2,␈α⊃3,␈α⊃4,␈α⊃5,␈α⊃6,␈α⊃7,␈α∩8,␈α⊃9,␈α⊃10,␈α⊃12,␈α⊃and␈α⊂60␈α⊂at␈α⊂some␈α⊂length,␈α⊃but
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"ga␈α␈v␈α␈e␈α⊂n␈α↓o␈α∂examples␈α⊂of␈α⊂arithmetic␈α⊂operations␈α⊂in␈α⊂n␈α↓ondecimal␈α⊂systems␈α⊂(except␈α∂for
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"the␈αtrivial␈αoperation␈αof␈αadding␈αunit␈α␈y).
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"184␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ α␈ε"Ultimately,␈α
an␈α
article␈α	by␈α
G.␈α
W.␈↓ ¬z␈ε"Leibniz␈α
[␈ε/Mem␈α↓oires␈α
de␈α	l'Academie␈α
Ro␈α␈y␈α␈ale␈α	des
␈βαM␈↓ ↓H␈ε/Sciences␈ε"␈α(Paris:␈α
1703),␈α
110↑116],␈α
which␈α
illustrated␈αbinary␈α
addition,␈αsubtraction,
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication,␈α∂and␈α∂division,␈α∂really␈α∞brough␈α␈t␈α∂binary␈α∂n␈α↓otation␈α∞in␈α␈to␈α∂the␈α∞limeligh␈α␈t,
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"and␈αthis␈αarticle␈αis␈αusually␈αreferred␈αto␈αas␈αthe␈αbirth␈αof␈αradix-2␈αarithmetic.␈α⊂Leibniz
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"later␈α	referred␈α
to␈α	the␈α
binary␈α	system␈α
quite␈α
frequen␈α␈tly.␈α∂He␈α	did␈α
n␈α↓ot␈α	recommend␈α
it␈α	for
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"practical␈α	calculations,␈α	but␈α	he␈α	stressed␈α	its␈α	importance␈α	in␈α	n␈α␈um␈α␈ber-theoretical␈α	in␈α␈v␈α␈es-
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"tigations,␈αsince␈αpatterns␈αin␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αsequences␈αare␈αo$en␈αm␈α↓ore␈αapparen␈α␈t␈αin␈αbinary
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓otation␈α
than␈αthey␈αare␈αin␈αdecimal;␈αhe␈αalso␈αsa␈α␈w␈α
a␈αm␈α␈ystical␈αsigni|cance␈αin␈αthe␈α
fact
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞ev␈α␈erything␈α∞is␈α∞expressible␈α∞in␈α∞terms␈α∞of␈α∂zero␈α∞and␈α∞one.␈α⊗Leibniz's␈α∞unpublished
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"man␈α␈uscripts␈α⊂sh␈α↓o␈α␈w␈α⊂that␈α⊃he␈α⊂had␈α⊂been␈α⊃in␈α␈terested␈α⊂in␈α⊂binary␈α⊂n␈α↓otation␈α⊃as␈α⊂early␈α⊂as
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"1679,␈αwhen␈αhe␈αreferred␈αto␈αit␈αas␈αa␈α\bimal"␈αsystem␈α(analogous␈αto␈α\decimal").
␈β¬␈␈↓ α␈ε"A␈αcareful␈αstudy␈αof␈αLeibniz's␈α
early␈αw␈α␈ork␈αwith␈αbinary␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αhas␈αbeen␈α
made
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"by␈α
Hans␈α
J.␈↓ αw␈ε"Zacher,␈ε/␈αDie␈α
Hauptschri$en␈α
zur␈α
Dy␈α␈adik␈αv␈α␈on␈α
G.␈α
W.␈α
Leibniz␈ε"␈α
(F␈α⎇rankfurt
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"am␈α
Main:␈αKlostermann,␈α1973).␈α⊂Zacher␈α
poin␈α␈ts␈αout␈αthat␈αLeibniz␈αw␈α␈as␈αfamiliar␈α
with
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"John␈↓ α%␈ε"Napier's␈α⊃so-called␈α⊃\␈↓ ∧a␈ε"local␈α∩arithmetic,"␈α∩a␈α⊃w␈α␈a␈α␈y␈α∩for␈α⊃calculating␈α⊃with␈α⊃stones
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"that␈αam␈α↓oun␈α␈ts␈αto␈α
using␈αa␈αradix-2␈↓ ¬E␈ε"abacus.␈α⊗[Napier␈αhad␈αpublished␈αthe␈αidea␈α
of␈αlocal
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈α⊂as␈α⊂an␈α⊂appendix␈α⊃to␈α⊂his␈α⊂little␈α⊃bo␈α↓ok␈ε/␈α⊂Rhabdologia␈ε"␈α⊂in␈α⊂1617;␈α∪it␈α⊂ma␈α␈y␈α⊂be
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"called␈αthe␈αw␈α␈orld's␈α|rst␈α\binary␈αcomputer,"␈αand␈αit␈αis␈αsurely␈αthe␈αw␈α␈orld's␈αcheapest,
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"alth␈α↓ough␈α∩Napier␈α∪felt␈α∪that␈α∩it␈α∪w␈α␈as␈α∪m␈α↓ore␈α∩am␈α␈using␈α∪than␈α∪practical.␈α$See␈α∩Martin
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"Gardner's␈αdiscussion␈αin␈ε/␈αScien␈α␈ti|c␈αAmerican␈ε2␈α228␈ε"␈α(April␈α1973),␈α106↑111.]
␈β	ε␈↓ α␈ε"It␈α
is␈α
in␈α␈teresting␈α	to␈α
n␈α↓ote␈α
that␈α
the␈α
importan␈α␈t␈α	concept␈α
of␈α
negativ␈α␈e␈α
po␈α␈w␈α␈ers␈α
to␈α	the
␈β	1␈↓ ↓H␈ε"righ␈α␈t␈αof␈αthe␈αradix␈αpoin␈α␈t␈αw␈α␈as␈αn␈α↓ot␈αy␈α␈et␈αw␈α␈ell␈αundersto␈α↓od␈αat␈αthat␈αtime.␈α∂Leibniz␈αask␈α␈ed
␈β	\␈↓ ↓H␈ε"James␈↓ α3␈ε"Bern␈α↓oulli␈αto␈αcalculate␈↓ ¬⊂␈ε(→␈↓ ¬1␈ε"in␈αthe␈αbinary␈αsystem,␈αand␈αBern␈α↓oulli␈α\solv␈α␈ed"␈αthe
␈β
↓␈↓ 
9␈ε%35
␈β
π␈↓ ↓H␈ε"problem␈α∞by␈α∂taking␈α∞a␈α∂35-digit␈α∞appro␈α␈ximation␈α∂to␈↓ πH␈ε(→␈↓ π]␈ε",␈α⊂m␈α␈ultiplying␈α∞it␈α∂by␈α∞1␈↓ 
'␈ε"0␈↓ 
Y␈ε",␈α∂and
␈β
3␈↓ ↓H␈ε"then␈α∞expressing␈α∂this␈α∞in␈α␈teger␈α∞in␈α∂the␈α∞binary␈α∂system␈α∞as␈α∂his␈α∞answ␈α␈er.␈α_On␈α∞a␈α∞smaller
␈β
↑␈↓ ↓H␈ε"scale␈α	this␈α
w␈α␈ould␈α	be␈α
lik␈α␈e␈α	sa␈α␈ying␈α
that␈↓ ¬j␈ε(→␈↓ ε
␈ε6→␈ε"␈α
3.14,␈α
and␈α	(314␈↓ λ⊃␈ε")␈↓ λG␈ε"=␈α
(100111010␈↓ 
#␈ε")␈↓ 
@␈ε";␈α
hence
␈β
j␈↓ λ≥␈ε%1␈α↓0␈↓ 
/␈ε%2
␈β	␈↓ ↓H␈ε(→␈↓ ↓g␈ε"in␈α	binary␈α	is␈α	100111010!␈α∂[See␈α	Leibniz,␈ε/␈α	Math.␈α	Schri$en␈ε"␈α
(ed.␈α	Gehrhardt),␈ε2␈α	3␈ε"␈α	(Halle:
␈β4␈↓ ↓H␈ε"1855),␈α97;␈αt␈α␈w␈α␈o␈αof␈αthe␈α118␈αbits␈αin␈αthe␈αansw␈α␈er␈αare␈αincorrect,␈αdue␈αto␈αcomputational
␈β←␈↓ ↓H␈ε"errors.]␈α≡The␈α∂m␈α↓otiv␈α␈e␈α∂for␈α∞Bern␈α↓oulli's␈α∂calculation␈α∂w␈α␈as␈α∂apparen␈α␈tly␈α∂to␈α∂see␈α∞whether
␈β␈↓ ↓H␈ε"an␈α␈y␈αsimple␈αpattern␈αcould␈αbe␈αobserv␈α␈ed␈αin␈αthis␈αrepresen␈α␈tation␈αof␈↓ 	%␈ε(→␈↓ 	;␈ε".
␈β8␈↓ α␈ε"Charles␈α
XII␈α
of␈α
Sw␈α␈eden,␈αwh␈α↓ose␈α
talen␈α␈t␈α
for␈α
mathematics␈α
perhaps␈α
exceeded␈α
that
␈βc␈↓ ↓H␈ε"of␈α	all␈α
other␈α
kings␈α	in␈α
the␈α
history␈α	of␈α
the␈↓ ε∪␈ε"w␈α␈orld,␈αhit␈α	on␈α
the␈α
idea␈α	of␈α
radix-8␈α	arithmetic
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"about␈α1717.␈α⊂This␈αw␈α␈as␈αprobably␈αhis␈αo␈α␈wn␈αin␈α␈v␈α␈en␈α␈tion,␈αalth␈α↓ough␈αhe␈αhad␈αmet␈αLeibniz
␈β
9␈↓ ↓H␈ε"brie⎇y␈α∪in␈α∩1707.␈α%Charles␈α∪felt␈α∪that␈α∪radix␈α∪8␈α∪or␈α∪64␈α∪w␈α␈ould␈α∪be␈α∪m␈α↓ore␈α∩con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t
␈β
d␈↓ ↓H␈ε"for␈α⊂calculation␈α⊃than␈α⊂the␈α⊃decimal␈α⊂system,␈α∩and␈α⊃he␈α⊂considered␈α⊃in␈α␈troducing␈α⊂octal
␈β∞⊂␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈α∞in␈α␈to␈α∂Sw␈α␈eden;␈α⊂but␈α∞he␈α∂died␈α∂in␈α∞battle␈α∂before␈α∂decreeing␈α∞such␈α∂a␈α∞change.
␈β∞;␈↓ ↓H␈ε"[See␈ε/␈αThe␈αW␈α⎇orks␈αof␈↓ βu␈ε/V␈α⎇oltaire␈ε2␈α21␈ε"␈α(Paris:␈α
E.␈αR.␈αDuMon␈α␈t,␈α1901),␈α49;␈αE.␈↓ 	h␈ε"Sw␈α␈eden␈α␈borg,
␈β∞f␈↓ ↓H␈ε/Gen␈α␈tleman's␈αMagazine␈ε2␈α24␈ε"␈α(1754),␈α423↑424.]
␈β∂∪␈↓ α␈ε"Octal␈α∂n␈α↓otation␈α∞w␈α␈as␈α∂proposed␈α∞also␈α∂in␈α∂colonial␈α∞America␈α∂before␈α∂1750,␈α∂by␈α∞the
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"Rev.␈α
Hugh␈↓ α␈␈ε"Jones,␈α
rector␈α
of␈α
a␈α
parish␈α
in␈α
Maryland␈α
[cf.␈ε/␈α
Gen␈α␈tleman's␈αMagazine␈ε2␈α
15
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"(1745),␈α377↑379;␈αH.␈αR.␈↓ ∧4␈ε"Phalen,␈ε/␈αAMM␈ε2␈α56␈ε"␈α(1949),␈α461↑465].
␈β⊂⊗␈↓ α␈ε"More␈α⊃than␈α⊃a␈α⊃cen␈α␈tury␈α⊃later,␈α∩a␈α⊃prominen␈α␈t␈α⊃Sw␈α␈edish-American␈α⊃civil␈α⊂engineer
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"named␈α∂John␈α∂W.␈↓ βW␈ε"Nystrom␈α⊂decided␈α∂to␈α∂carry␈α∂Charles␈α⊂XII's␈α∂plans␈α∂a␈α∂step␈α∂further,
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"by␈α
devising␈α∞a␈α∞complete␈α
system␈α∞of␈α
n␈α␈umeration,␈α∞w␈α␈eigh␈α␈ts,␈α∂and␈α
measures␈α∞based␈α
on
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"radix-16␈α	arithmetic.␈α∂He␈α	wrote,␈α	\I␈α
am␈α	n␈α↓ot␈α	afraid,␈α	or␈α	do␈α
n␈α↓ot␈α	hesitate,␈α	to␈α	adv␈α␈ocate␈α	a
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"185
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"binary␈α
system␈α
of␈α
arithmetic␈α
and␈α
metrology.␈α∂I␈α
kn␈α↓o␈α␈w␈α
I␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αnature␈α
on␈α
m␈α␈y␈α
side;␈α
if␈α
I
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"do␈α
n␈α↓ot␈α
succeed␈α
to␈α
impress␈α
upon␈α
y␈α␈ou␈αits␈α
utilit␈α␈y␈α
and␈α
great␈α
importance␈α
to␈α
mankind,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"it␈αwill␈αre⎇ect␈αthat␈αm␈α␈uch␈αless␈αcredit␈αupon␈αour␈αgeneration,␈αupon␈αour␈αscien␈α␈ti|c␈αmen
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"and␈α
philosophers."␈α∂Nystrom␈α
devised␈α
special␈α
means␈α
for␈α
pron␈α↓ouncing␈↓ 	j␈ε"hexadecimal
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers;␈α
e.g.,␈α(␈↓ ∧~␈ε")␈↓ ∧S␈ε"w␈α␈as␈αto␈α
be␈α
read␈α\vybong,␈α
bysan␈α␈ton."␈α∩His␈α
en␈α␈tire␈αsystem
␈ββS␈↓ β;␈ε5B0160
␈ββ]␈↓ ∧&␈ε%16
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α
called␈α∞the␈α
T␈α⎇onal␈α
System,␈α∞and␈α∞it␈α
is␈α∞described␈α
in␈ε/␈α∞J.␈α
F␈α⎇ranklin␈α∞Inst.␈ε2␈α
46␈ε"␈α
(1863),
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"263↑275,␈α⊂337↑348,␈α⊂402↑407.␈α→A␈α∂similar␈α⊂system,␈α⊂but␈α∂using␈α∂radix␈α∂8,␈α⊂w␈α␈as␈α∂w␈α␈ork␈α␈ed
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"out␈αby␈α
Alfred␈αB.␈↓ βY␈ε"T␈α⎇a␈α␈ylor␈α
[␈ε/Proc.␈αAmer.␈α
Pharmaceutical␈αAssoc.␈ε2␈α
8␈ε"␈α
(1859),␈α115↑216;
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε/Proc.␈αAmer.␈αPhilosophical␈αSoc.␈ε2␈α24␈ε"␈α(1887),␈α296↑366].␈α⊂Increased␈αuse␈αof␈αthe␈αF␈α⎇rench
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"(metric)␈α
system␈α∞of␈α
w␈α␈eigh␈α␈ts␈α∞and␈α∞measures␈α
prompted␈α∞extensiv␈α␈e␈α
debate␈α∞about␈α
the
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"merits␈αof␈α
decimal␈α
arithmetic␈αduring␈α
that␈α
era;␈α
indeed,␈αoctal␈α
arithmetic␈α
w␈α␈as␈αev␈α␈en
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"being␈α
proposed␈αin␈αF␈α⎇rance␈α[J.␈αD.␈↓ ¬:␈ε"Colenne,␈ε/␈αLe␈αsyst␈↓ π<␈ε/␈
␈↓ π=␈ε/e␈↓ πM␈ε/me␈α
octa␈α␈v␈α}al␈↓ 	␈ε"(Paris:␈α1845);␈αAim␈↓ ≠␈ε"∞␈↓ ≤␈ε"e
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"Mariage,␈ε/␈αNum␈↓ β)␈ε/∞␈↓ β*␈ε/e␈↓ β:␈ε/ration␈αpar␈αh␈α␈uit␈ε"␈α(Paris:␈αLe␈αNonnan␈α␈t,␈α1857)].
␈βεV␈↓ α␈ε"The␈αbinary␈α
system␈αw␈α␈as␈α
w␈α␈ell␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αas␈α
a␈αcuriosit␈α␈y␈αev␈α␈er␈α
since␈αLeibniz's␈αtime,
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"and␈α⊃about␈α∩20␈α∩early␈α∩references␈α∩to␈α∩it␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α∩been␈α∩compiled␈α∩by␈α∩R.␈α∩C.␈↓ 
∩␈ε"Archibald
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/AMM␈ε2␈α
25␈ε"␈α∞(1918),␈α
139↑142].␈α∃It␈α
w␈α␈as␈α∞applied␈α
chie⎇y␈α∞to␈α
the␈α∞calculation␈α
of␈α
po␈α␈w␈α␈ers,
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"as␈αexplained␈α
in␈α
Section␈α
4.6.3,␈α
and␈αto␈α
the␈α
analysis␈αof␈α
certain␈α
games␈α
and␈αpuzzles.
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"Giuseppe␈↓ αc␈ε"Pean␈α↓o␈α[␈ε/A␈α␈tti␈αdella␈αR.␈αAccademia␈αdelle␈αScienze␈αdi␈αT␈α⎇orin␈α↓o␈ε2␈α34␈ε"␈α(1898),␈α47↑
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"55]␈αused␈α
binary␈αn␈α↓otation␈αas␈αthe␈αbasis␈αof␈αa␈α\logical"␈αcharacter␈αset␈αof␈α256␈α
sym␈α␈bols.
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"Joseph␈↓ α?␈ε"Bo␈α␈wden␈α∞[␈ε/Special␈α∞T␈α⎇opics␈α
in␈α∞Theoretical␈α∞Arithmetic␈ε"␈α
(Garden␈α∞Cit␈α␈y:␈α∂1936),
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"49]␈αga␈α␈v␈α␈e␈αhis␈αo␈α␈wn␈αsystem␈αof␈αn␈α↓omenclature␈αfor␈αhexadecimal␈αn␈α␈um␈α␈bers.
␈β	/␈↓ α␈ε"The␈α∞bo␈α↓ok␈ε/␈α
History␈α∞of␈α
Binary␈α∞and␈α
Other␈α∞Nondecimal␈α
Numeration␈ε"␈α∞by␈α
An␈α␈ton
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"Glaser␈α⊃(priv␈α}ately␈α⊃prin␈α␈ted,␈α∩1971)␈α⊃con␈α␈tains␈α⊃an␈α⊃informativ␈α␈e␈α⊃and␈α⊂nearly␈α⊃complete
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"discussion␈αof␈αthe␈αdev␈α␈elopmen␈α␈t␈αof␈αbinary␈αn␈α↓otation,␈αincluding␈αEnglish␈αtranslations
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"of␈αman␈α␈y␈αof␈αthe␈αw␈α␈orks␈αcited␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β
c␈↓ α␈ε"Much␈α
of␈αthe␈α
recen␈α␈t␈α
history␈αof␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αsystems␈α
is␈α
connected␈αwith␈α
the␈αdev␈α␈el-
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"opmen␈α␈t␈α∂of␈α⊂calculating␈α∂machines.␈α≠Charles␈↓ εn␈ε"Babbage's␈α⊂n␈α↓otebo␈α↓oks␈α∂for␈α⊂1838␈α∂sh␈α↓o␈α␈w
␈β:␈↓ ↓H␈ε"that␈α
he␈α
considered␈αusing␈α
n␈α↓ondecimal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α
his␈↓ πx␈ε"Analytical␈α
Engine␈α[cf.␈α
M.␈α
V.
␈βe␈↓ ↓H␈ε"Wilk␈α␈es,␈ε/␈α∞Historia␈α
Math.␈ε2␈α∞4␈ε"␈α
(1977),␈α∞421].␈α∃Increased␈α∞in␈α␈terest␈α
in␈α∞mechanical␈α
devices
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"for␈α∞arithmetic,␈α⊂especially␈α∂for␈α∂m␈α␈ultiplication,␈α∂led␈α∂sev␈α␈eral␈α∂people␈α∂in␈α∂the␈α∂1930s␈α∞to
␈β;␈↓ ↓H␈ε"consider␈α
the␈αbinary␈αsystem␈αfor␈αthis␈αpurpose.␈α∂A␈αparticularly␈αdeligh␈α␈tful␈αaccoun␈α␈t␈α
of
␈βf␈↓ ↓H␈ε"such␈αactivit␈α␈y␈αappears␈αin␈αthe␈αarticle␈α\Binary␈αCalculation"␈αby␈αE.␈αWilliam␈↓ 
6␈ε"Phillips
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/Journal␈αof␈αthe␈αInstitute␈αof␈αActuaries␈ε2␈α67␈ε"␈α(1936),␈α187↑221]␈αtogether␈αwith␈αa␈αrecord
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"of␈α	the␈α	discussion␈α	that␈α	follo␈α␈w␈α␈ed␈α
a␈α	lecture␈α	he␈α	ga␈α␈v␈α␈e␈α
on␈α	the␈α	subject.␈α∂Phillips␈α	began␈α	by
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"sa␈α␈ying,␈α
\The␈α
ultimate␈α
aim␈α
[of␈α
this␈α
paper]␈α
is␈α
to␈α
persuade␈α
the␈α
wh␈α↓ole␈α	civilized␈α
w␈α␈orld
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"to␈αabandon␈αdecimal␈α
n␈α␈umeration␈αand␈α
to␈αuse␈αoctonal␈α
[i.e.,␈αradix␈α
8]␈αn␈α␈umeration␈αin
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"its␈αplace."
␈β∞j␈↓ α␈ε"Modern␈α	readers␈α
of␈α	Phillips's␈α
article␈α	will␈α	perhaps␈α
be␈α	surprised␈α
to␈α	disco␈α␈v␈α␈er␈α	that
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"a␈α∞radix-8␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞system␈α∞w␈α␈as␈α∂properly␈α∞referred␈α∂to␈α∞as␈α∂\octonary"␈α∞or␈α∞\octonal,"
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"according␈α∂to␈α∂all␈α∂dictionaries␈α⊂of␈α∂the␈α∂English␈α∂language␈α∂at␈α⊂that␈α∂time,␈α⊂just␈α∂as␈α∂the
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"radix-10␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃system␈α⊂is␈α⊃properly␈α⊃called␈α⊃either␈α⊃\denary"␈α⊃or␈α⊃\decimal";␈α∪the
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ord␈α⊂\octal"␈α⊂did␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂appear␈α⊂in␈α⊂English␈α⊂language␈α⊂dictionaries␈α⊂un␈α␈til␈α⊂1961,␈α⊃and
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"it␈α∞apparen␈α␈tly␈α∞originated␈α∂as␈α∞a␈α∂term␈α∞for␈α∂the␈α∞\base"␈α∞of␈α∂a␈α∞certain␈α∂class␈α∞of␈α∞v␈α}acuum
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"tubes.␈α∀The␈α∞w␈α␈ord␈α
\hexadecimal,"␈α∞which␈α
has␈α∞crept␈α
in␈α␈to␈α∞our␈α
language␈α∞ev␈α␈en␈α
m␈α↓ore
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"recen␈α␈tly,␈α∂is␈α∞a␈α∞mixture␈α∂of␈α∞Greek␈α∂and␈α∞Latin␈α∞stems;␈α⊂m␈α↓ore␈α∞proper␈α∂terms␈α∞w␈α␈ould␈α∞be
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"186␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"\senidenary"␈α	or␈α
\sedecimal"␈α
or␈α
ev␈α␈en␈α
\sexadecimal,"␈α
but␈α
the␈α
latter␈α
is␈α
perhaps␈α	to␈α↓o
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"risqu␈↓ α∪␈ε"∞␈↓ α∀␈ε"e␈↓ α0␈ε"for␈αcomputer␈αprogrammers.
␈βαz␈↓ α␈ε"The␈αcommen␈α␈t␈αby␈αMr.␈↓ ∧h␈ε"W␈α⎇ales␈α
that␈αis␈αquoted␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αthis␈αchapter
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"has␈αbeen␈α
tak␈α␈en␈αfrom␈αthe␈α
discussion␈αprin␈α␈ted␈α
with␈αPhillips's␈α
paper.␈α⊃An␈α↓other␈αman
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"wh␈α↓o␈αλattended␈αλthe␈α	same␈αλlecture␈α	objected␈αλto␈αλthe␈α	octal␈αλsystem␈α	for␈αλbusiness␈αλpurposes:
␈ββa␈↓ βH␈ε".␈↓ β}␈ε".
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"\5%␈αbecomes␈α3.␈↓ βD␈ε"1␈↓ βV␈ε"46␈↓ βz␈ε"3␈↓ ∧_␈ε"per␈α64,␈αwhich␈αsounds␈αrather␈αh␈α↓orrible."
␈β∧'␈↓ α␈ε"Phillips␈αgot␈α
the␈αinspiration␈α
for␈αhis␈αproposals␈α
from␈αan␈α
electronic␈αcircuit␈αthat
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈αλcapable␈α	of␈α	coun␈α␈ting␈α	in␈α	binary␈α	[C.␈α	E.␈↓ ε5␈ε"Wynn-Williams,␈α
Proc.␈α	Ro␈α␈y.␈α	Soc.␈αλLondon
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε2A136␈ε"␈α∂(1932),␈α⊃312↑324].␈α≠Electromechanical␈α⊂and␈α∂electronic␈α⊂circuitry␈α⊂for␈α∂general
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈αoperations␈α
w␈α␈as␈α
dev␈α␈eloped␈α
during␈α
the␈αlate␈α
1930s,␈α
n␈α↓otably␈α
by␈α
John␈αV.
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"A␈α␈tanaso{␈α∞and␈α∞George␈α∂R.␈↓ ∧b␈ε"Stibitz␈α∞in␈α∂the␈α∞U.S.A.,␈α∂L.␈↓ πt␈ε"Cou}gnal␈α∞and␈α∂R.␈↓ 
∨␈ε"V␈α⎇altat␈α∞in
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇rance,␈α∞Helm␈α␈ut␈↓ βJ␈ε"Schrey␈α␈er␈α
and␈α∞Konrad␈↓ ε)␈ε"Zuse␈α
in␈α∞German␈α␈y.␈α∃All␈α∞of␈α∞these␈α
in␈α␈v␈α␈en␈α␈tors
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"used␈αthe␈αbinary␈αsystem,␈αalth␈α↓ough␈↓ ¬←␈ε"Stibitz␈αlater␈αdev␈α␈eloped␈αexcess-3␈↓ 	U␈ε"binary-coded-
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"decimal␈αn␈α↓otation.␈α∪A␈α
fascinating␈αaccoun␈α␈t␈α
of␈α
these␈α
early␈αdev␈α␈elopmen␈α␈ts,␈α
including
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"reprin␈α␈ts␈αλand␈αλtranslations␈αλof␈αλimportan␈α␈t␈αλcon␈α␈temporary␈αλdocumen␈α␈ts,␈α	appears␈αλin␈αλBrian
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"Randell's␈αbo␈α↓ok␈ε/␈αThe␈αOrigins␈αof␈αDigital␈αComputers␈ε"␈α(Berlin:␈αSpringer,␈α1973).
␈βπW␈↓ α␈ε"The␈α⊃|rst␈α∩American␈α⊃high-speed␈α⊃computers,␈α∪built␈α⊃in␈α⊃the␈α∩early␈α⊃1940s,␈α∩used
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"decimal␈α
arithmetic.␈α∃But␈α
in␈α∞1946,␈α
an␈α∞importan␈α␈t␈α
mem␈α↓orandum␈α∞by␈α
A.␈α∞W.␈↓ 
F␈ε"Burks,
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"H.␈α⊂H.␈↓ α1␈ε"Goldstine,␈α∩and␈α⊃J.␈↓ ∧[␈ε"v␈α␈on␈α⊃Neumann,␈α∩in␈α⊂connection␈α⊃with␈α⊃the␈α⊃design␈α⊃of␈α⊂the
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"|rst␈α
stored-program␈α∞computers,␈α∂ga␈α␈v␈α␈e␈α
detailed␈α∞reasons␈α∞for␈α∞the␈α∞decision␈α∞to␈α
mak␈α␈e
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"a␈α∞radical␈α∞departure␈α∞from␈α∞tradition␈α∞and␈α∞to␈α∞use␈α∞base-t␈α␈w␈α␈o␈α
n␈α↓otation␈α∞[see␈α∞John␈α∞v␈α␈on
␈β	/␈↓ ↓H␈ε"Neumann,␈ε/␈αCollected␈αW␈α⎇orks␈ε2␈α5␈ε",␈α
41↑65].␈α⊂Since␈α
then␈αbinary␈αcomputers␈αha␈α␈v␈α␈e␈αm␈α␈ulti-
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"plied.␈α∃A$er␈α∞a␈α∞dozen␈α∞y␈α␈ears␈α
of␈α∞experience␈α∞with␈α∞binary␈α∞machines,␈α∞a␈α∞discussion␈α
of
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"the␈α
relativ␈α␈e␈αadv␈α}an␈α␈tages␈α
and␈α
disadv␈α}an␈α␈tages␈α
of␈α
radix-2␈α
n␈α↓otation␈α
w␈α␈as␈α
giv␈α␈en␈α
by␈αW.
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"Buchh␈α↓olz␈αin␈αhis␈αpaper␈α\Fingers␈αor␈αFists?"␈α⊂[␈ε/CA␈α␈CM␈ε2␈α2␈ε"␈α(Decem␈α␈ber␈α1959),␈α3↑11].
␈β
\␈↓ α␈ε"The␈↓ β$␈ε"computer␈α⊃used␈α⊃in␈α⊃this␈α⊂bo␈α↓ok␈α⊃has␈α⊃been␈α⊃de|ned␈α⊂so␈α⊃that␈α⊃it␈α⊃can␈α⊂be
␈β
↑␈↓ α[␈ε5MIX
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"either␈α
binary␈α
or␈α∞decimal.␈α∀It␈α
is␈α
in␈α␈teresting␈α∞to␈α
n␈α↓ote␈α
that␈α∞nearly␈α
all␈↓ 
~␈ε"programs
␈β	␈↓ 	T␈ε5MIX
␈β2␈↓ ↓H␈ε"can␈αbe␈α
expressed␈αwith␈α↓out␈α
kn␈α↓o␈α␈wing␈αwhether␈α
binary␈αor␈α
decimal␈αn␈α↓otation␈α
is␈αbeing
␈β↑␈↓ ↓H␈ε"used←ev␈α␈en␈α∂when␈α⊂w␈α␈e␈α⊂are␈α⊂doing␈α⊂calculations␈α⊂in␈α␈v␈α␈olving␈↓ λ.␈ε"m␈α␈ultiple-precision␈α∂arith-
␈β	␈↓ ↓H␈ε"metic.␈α≤Th␈α␈us␈α⊂w␈α␈e␈α⊂|nd␈α⊂that␈α⊂the␈α⊂ch␈α↓oice␈α⊂of␈α⊂radix␈α⊂does␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂signi|can␈α␈tly␈α⊂in⎇uence
␈β4␈↓ ↓H␈ε"computer␈α	programming.␈α⊂(Notew␈α␈orth␈α␈y␈α
exceptions␈α	to␈α
this␈α	statemen␈α␈t,␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
are
␈β←␈↓ ↓H␈ε"the␈α\Bo␈α↓olean"␈αalgorithms␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α7.1;␈αsee␈αalso␈αAlgorithm␈α4.5.2B.)
␈β
⊃␈↓ α␈ε"There␈α
are␈α
sev␈α␈eral␈α
di{eren␈α␈t␈α∞meth␈α↓ods␈α
for␈α
represen␈α␈ting␈ε/␈α
negativ␈α␈e␈↓ 	↑␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α
a
␈β
<␈↓ ↓H␈ε"computer,␈αand␈αthis␈αsometimes␈αin⎇uences␈αthe␈αw␈α␈a␈α␈y␈αarithmetic␈αis␈αdone.␈α∂In␈αorder␈αto
␈β
g␈↓ ↓H␈ε"understand␈α
these␈αother␈αn␈α↓otations,␈αlet␈α
us␈α|rst␈αconsider␈↓ λX␈ε"as␈αif␈α
it␈αw␈α␈ere␈αa␈α
decimal
␈β
i␈↓ λ∃␈ε5M␈α␈IX
␈β∞∩␈↓ ↓H␈ε"computer;␈αthen␈αeach␈αw␈α␈ord␈αcon␈α␈tains␈α10␈αdigits␈αand␈αa␈αsign,␈αfor␈αexample
␈β∞T␈↓ ¬E␈ε6␈␈ε"12345␈αλ67890.␈↓ α␈ε"(2)
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"This␈α
is␈α
called␈α
the␈ε/␈α
signed-magnitude␈ε"␈αrepresen␈α␈tation.␈↓ πq␈ε"Such␈α
a␈α
represen␈α␈tation␈α
agrees
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"with␈α	comm␈α↓on␈α	n␈α↓otational␈α	con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions,␈α
so␈α	it␈α
is␈α	preferred␈α	by␈α	man␈α␈y␈α	programmers.␈α∂A
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"poten␈α␈tial␈α
disadv␈α}an␈α␈tage␈αis␈αthat␈↓ ¬!␈ε"min␈α␈us␈αzero␈αand␈α
plus␈αzero␈α
can␈αboth␈αbe␈α
represen␈α␈ted,
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"while␈αthey␈αusually␈αsh␈α↓ould␈αmean␈αthe␈αsame␈αn␈α␈um␈α␈ber;␈αthis␈αpossibilit␈α␈y␈αrequires␈αsome
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"care␈αin␈αpractice,␈αalth␈α↓ough␈αit␈αturns␈αout␈αto␈αbe␈αuseful␈αat␈αtimes.
␈β⊂m␈↓ α␈ε"Most␈αmechanical␈αcalculators␈αthat␈αdo␈αdecimal␈αarithmetic␈αuse␈αan␈α↓other␈αsystem
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"called␈ε/␈α∂ten's␈α∂complemen␈α␈t␈↓ ∧W␈ε"n␈α↓otation.␈α~If␈α∂w␈α␈e␈α⊂subtract␈α∂1␈↓ λ∩␈ε"from␈α⊂00000␈α
00000,␈α⊂w␈α␈e␈α∂get
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"187
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"99999␈αλ99999␈αin␈α
this␈αn␈α↓otation;␈α
in␈αother␈α
w␈α␈ords,␈αn␈α↓o␈αexplicit␈α
sign␈αis␈α
attached␈αto␈αthe
␈βαI␈↓ εf␈ε%10
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber,␈α
and␈αcalculation␈α
is␈αdone␈ε/␈α
m␈α↓odulo␈ε"␈α1␈↓ εT␈ε"0␈↓ πε␈ε".␈α∂The␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε6␈α
␈␈ε"12345␈α¬67890␈α
w␈α␈ould
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"appear␈αas
␈ββ&␈↓ ¬\␈ε"87654␈αλ32110␈↓ α␈ε"(3)
␈ββg␈↓ ↓H␈ε"in␈α∞ten's␈↓ αM␈ε"complemen␈α␈t␈α∞n␈α↓otation.␈α_It␈α∂is␈α∞con␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈α∂to␈α∂regard␈α∞an␈α␈y␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞wh␈α↓ose
␈β∧∩␈↓ ↓H␈ε"leading␈α∂digit␈α⊂is␈α∂5,␈α⊂6,␈α⊃7,␈α⊂8,␈α⊂or␈α⊂9␈α∂as␈α⊂a␈α∂negativ␈α␈e␈α⊂v␈α}alue␈α∂in␈α⊂this␈α∂n␈α↓otation,␈α⊂alth␈α↓ough
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε"with␈α
respect␈αto␈α
addition␈αand␈α
subtraction␈αthere␈αis␈α
n␈α↓o␈αharm␈α
in␈αregarding␈α
(3)␈αas␈α
the
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α
+87654␈α¬32110␈αif␈α
it␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
to␈αdo␈α
so.␈α⊂Note␈α
that␈αthere␈α
is␈αn␈α↓o␈α
problem
␈β¬∀␈↓ ↓H␈ε"of␈α\min␈α␈us␈αzero"␈αin␈αsuch␈αa␈αsystem.
␈β¬?␈↓ α␈ε"The␈α
major␈α
di{erence␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α	signed␈α
magnitude␈α
and␈α
ten's␈α
complemen␈α␈t␈α	n␈α↓ota-
␈β¬j␈↓ ↓H␈ε"tions␈αin␈αpractice␈αis␈αthat␈αshi$ing␈αrigh␈α␈t␈αdoes␈αn␈α↓ot␈αdivide␈αthe␈αmagnitude␈αby␈αten;␈αfor
␈βε∃␈↓ ↓H␈ε"example,␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε6␈α␈␈ε"11␈α=␈↓ ¬!␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬Q␈ε"99989,␈α
shi$ed␈αrigh␈α␈t␈αone,␈αgiv␈α␈es␈↓ 	4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	d␈ε"99998␈α
=␈ε6␈α
␈␈ε"2
␈βε@␈↓ ↓H␈ε"(assuming␈α
that␈α
a␈α
shi$␈α
to␈α
the␈α
righ␈α␈t␈α
inserts␈α
\9"␈α
as␈α
the␈α
leading␈α
digit␈α
when␈α
the␈α
n␈α␈um-
␈βεl␈↓ ↓H␈ε"ber␈αshi$ed␈α
is␈αnegativ␈α␈e).␈α⊂In␈αgeneral,␈ε(␈αx␈ε"␈αshi$ed␈αrigh␈α␈t␈αone␈αdigit␈αin␈αten's␈α
complemen␈α␈t
␈βπ↔␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓otation␈αwill␈αgiv␈α␈e␈ε6␈αb␈ε(x␈ε"/10␈ε6c␈ε",␈αwhether␈ε(␈αx␈ε"␈αis␈αpositiv␈α␈e␈αor␈αnegativ␈α␈e.
␈βπB␈↓ α␈ε"A␈αpossible␈α
disadv␈α}an␈α␈tage␈αof␈α
the␈αten's␈α
complemen␈α␈t␈α
system␈αis␈α
the␈αfact␈α
that␈αit␈α
is
␈βπm␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈αsymmetric␈αabout␈αzero;␈αthe␈αlargest␈αnegativ␈α␈e␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αrepresen␈α␈table␈αin␈ε(␈αp␈ε"␈αdigits
␈βλ_␈↓ ↓H␈ε"is␈α500␈↓ α(␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αX␈ε"0,␈α
and␈αit␈αis␈α
n␈α↓ot␈αthe␈αnegativ␈α␈e␈α
of␈αan␈α␈y␈ε(␈α
p␈ε"-digit␈αpositiv␈α␈e␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈α∩Th␈α␈us␈αit␈αis
␈βλD␈↓ ↓H␈ε"possible␈αthat␈αchanging␈ε(␈αx␈ε"␈αto␈ε6␈α␈␈ε(x␈ε"␈αwill␈αcause␈α
o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w.␈α→(See␈αexercises␈α7␈αand␈α31␈αfor
␈βλo␈↓ ↓H␈ε"a␈αdiscussion␈αof␈αradix-complemen␈α␈t␈αn␈α↓otation␈αwith␈ε/␈αin|nite␈ε"␈αprecision.)
␈β	~␈↓ α␈ε"An␈α↓other␈α∞n␈α↓otation␈α∂that␈α∞has␈α∂been␈α∞used␈α∞since␈α∂the␈α∞earliest␈α∂da␈α␈ys␈α∞of␈α∞high-speed
␈β	E␈↓ ↓H␈ε"computers␈α
is␈α∞called␈ε/␈α
nines'␈↓ ∧l␈ε/complemen␈α␈t␈↓ ε7␈ε"represen␈α␈tation.␈α∀In␈α∞this␈α
case␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β	p␈↓ ↓H␈ε6␈␈ε"12345␈αλ67890␈αw␈α␈ould␈αappear␈αas
␈β
?␈↓ ¬W␈ε"87654␈αλ32109.␈↓ α␈ε"(4)
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"Each␈α	digit␈α
of␈α
a␈α
negativ␈α␈e␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
(␈ε6␈␈ε(x␈ε")␈α
is␈α	equal␈α
to␈α
9␈α
min␈α␈us␈α
the␈α
corresponding␈α	digit
␈β:␈↓ ↓H␈ε"of␈ε(␈αx␈ε".␈α⊂It␈αis␈αn␈α↓ot␈αdi}cult␈αto␈αsee␈αthat␈αthe␈αnines'␈αcomplemen␈α␈t␈αn␈α↓otation␈αfor␈αa␈αnegativ␈α␈e
␈βe␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α∂is␈α∂alw␈α␈a␈α␈ys␈α⊂one␈α∂less␈α⊂than␈α∂the␈α∂corresponding␈α⊂ten's␈α∂complemen␈α␈t␈α∂n␈α↓otation.
␈β
␈↓ π≠␈ε%10
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"Addition␈αand␈αsubtraction␈α
are␈αdone␈α
m␈α↓odulo␈α1␈↓ π	␈ε"0␈↓ πC␈ε6␈␈ε"␈αλ1,␈α
which␈αmeans␈α
that␈αa␈αcarry
␈β;␈↓ ↓H␈ε"o{␈α∂the␈α∂le$␈α∂end␈α∂is␈α∂to␈α∂be␈α∂added␈α∂at␈α⊂the␈α∂righ␈α␈t␈α∂end.␈α≡(Cf.␈α⊂Section␈α∂3.2.1.1.)␈α≡Again
␈βf␈↓ ↓H␈ε"there␈αis␈αa␈αpoten␈α␈tial␈αproblem␈αwith␈α
min␈α␈us␈αzero,␈αsince␈α99999␈αε99999␈αand␈α
00000␈αε00000
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"den␈α↓ote␈αthe␈αsame␈αv␈α}alue.
␈β
=␈↓ α␈ε"The␈α∂ideas␈α∂just␈α∂explained␈α∂for␈α∞base-10␈α∂arithmetic␈α∂apply␈α∂in␈α∂a␈α∂similar␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α∞to
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"base-2␈α∩arithmetic,␈α∪where␈α∪w␈α␈e␈α∩ha␈α␈v␈α␈e␈ε/␈α∩signed␈α∩magnitude␈ε",␈↓ λ6␈ε/t␈α␈w␈α␈o's␈α∩complemen␈α␈t␈ε",␈α∪and
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε/ones'␈α⊂complemen␈α␈t␈ε"␈α⊃n␈α↓otations.␈α≥The␈↓ εF␈ε"computer,␈α∩as␈α⊂used␈α⊃in␈α⊂the␈α⊃examples␈α⊂of
␈β∞∃␈↓ ¬⎇␈ε5MIX
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"this␈αchapter,␈αdeals␈α
only␈αwith␈αsigned-magnitude␈α
arithmetic;␈αh␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αalternativ␈α␈e
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"procedures␈α⊂for␈α⊂complemen␈α␈t␈α⊃n␈α↓otations␈α⊂are␈α⊂discussed␈α⊃in␈α⊂the␈α⊂accompan␈α␈ying␈α⊂text
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"when␈αit␈αis␈αimportan␈α␈t␈αto␈αdo␈αso.
␈β∂@␈↓ α␈ε"Most␈α	computer␈α	man␈α␈uals␈α	tell␈α
us␈α	that␈α	the␈α	machine's␈α	circuitry␈α	assumes␈α	that␈α	the
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"radix␈α∞poin␈α␈t␈α∂is␈α∞situated␈α∂in␈α∞a␈α∂particular␈α∞place␈α∂within␈α∞each␈α∞computer␈α∂w␈α␈ord.␈α↔This
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"advice␈α
sh␈α↓ould␈α
usually␈α∞be␈α
disregarded.␈α∃It␈α
is␈α
better␈α∞to␈α
learn␈α∞the␈α
rules␈α
concerning
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"where␈α∞the␈α∂radix␈α∂poin␈α␈t␈α∞will␈α∂appear␈α∞in␈α∂the␈α∂result␈α∞of␈α∂an␈α∂instruction␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∞assume
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞it␈α∂lies␈α∞in␈α∂a␈α∞certain␈α∂place␈α∂beforehand.␈α↔F␈α⎇or␈α∂example,␈α∂in␈α∂the␈α∞case␈α∂of␈↓ β␈ε"w␈α␈e
␈β⊂o␈↓ 
<␈ε5MIX
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"could␈αregard␈αour␈αoperands␈αeither␈αas␈αin␈α␈tegers␈αwith␈αthe␈αradix␈α
poin␈α␈t␈αat␈αthe␈αextreme
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"188␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"righ␈α␈t,␈α
or␈α
as␈α
fractions␈α
with␈α	the␈α
radix␈α
poin␈α␈t␈α
at␈α
the␈α
extreme␈α
le$,␈α
or␈α
as␈α
some␈α	mixture
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞these␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞extremes;␈α⊂the␈α∞rules␈α∞for␈α∞the␈α∞appearance␈α∞of␈α∂the␈α∞radix␈α∞poin␈α␈t␈α∞in␈α∞each
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"result␈αare␈αstraigh␈α␈tforw␈α␈ard.
␈ββ+␈↓ ⊂␈ε+k
␈ββ1␈↓ α␈ε"It␈αis␈αeasy␈αto␈αsee␈αthat␈αthere␈α
is␈αa␈αsimple␈αrelation␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αradix␈ε(␈αb␈ε"␈αand␈αradix␈↓ ↓␈ε(b␈↓ "␈ε":
␈β∧	␈↓ αN␈ε"(␈↓ α`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β⊂␈ε(a␈↓ β4␈ε(a␈↓ βX␈ε(a␈↓ β{␈ε(a␈↓ ∧∨␈ε".␈↓ ∧)␈ε(a␈↓ ∧k␈ε(a␈↓ ¬2␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈ε")␈↓ εε␈ε"=␈α
(␈↓ εF␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εv␈ε(A␈↓ π!␈ε(A␈↓ πL␈ε(A␈↓ πw␈ε(A␈↓ λ"␈ε".␈↓ λ,␈ε(A␈↓ λt␈ε(A␈↓ 	B␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	r␈ε")␈↓ 
≤␈ε",␈↓ α␈ε"(5)
␈β∧∃␈↓ β#␈ε%3␈↓ βG␈ε%2␈↓ βk␈ε%1␈↓ ∧∞␈ε%0␈↓ ∧<␈ε9␈␈ε%1␈↓ ∧}␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ ¬n␈ε+b␈↓ π⊂␈ε%3␈↓ π;␈ε%2␈↓ πf␈ε%1␈↓ λ⊃␈ε%0␈↓ λF␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	∞␈ε9␈␈ε%2␈↓ 
␈ε-k
␈β∧⊗␈↓ 	}␈ε+b
␈β∧`␈↓ ↓H␈ε"where
␈β¬␈↓ ∧F␈ε(A␈↓ ∧y␈ε"=␈α
(␈↓ ¬3␈ε(a␈↓ εG␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εw␈ε(a␈↓ πW␈ε(a␈↓ λ	␈ε")␈↓ λ$␈ε";
␈β¬_␈↓ ∧`␈ε+j␈↓ ¬F␈ε+k␈↓ ¬W␈ε+j␈↓ ¬e␈ε%+␈↓ εα␈ε+k␈↓ ε∪␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ π
␈ε+k␈↓ π≠␈ε+j␈↓ π(␈ε%+1␈↓ πj␈ε+k␈↓ πz␈ε+j␈↓ λ∃␈ε+b
␈β¬Q␈↓ ↓H␈ε"see␈αexercise␈α8.␈α⊃Th␈α␈us␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αsimple␈αtechniques␈↓ π9␈ε"for␈α
con␈α␈v␈α␈erting␈αat␈αsigh␈α␈t␈αbet␈α␈w␈α␈een,
␈β¬|␈↓ ↓H␈ε"sa␈α␈y,␈αbinary␈αand␈αoctal␈αn␈α↓otation.
␈βε3␈↓ α␈ε"Man␈α␈y␈α∂in␈α␈teresting␈α∞v␈α}ariations␈α∂on␈α∞positional␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂systems␈α∞are␈α∂possible␈α∞be-
␈βε↑␈↓ ↓H␈ε"sides␈α
the␈α
standard␈ε(␈α
b␈ε"␈α↓-ary␈α
systems␈α
discussed␈α
so␈α∞far.␈α∪F␈α⎇or␈α
example,␈α∞w␈α␈e␈α
migh␈α␈t␈α
ha␈α␈v␈α␈e
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αbase␈α(␈ε6␈␈ε"10),␈αso␈αthat
␈βπ]␈↓ α
␈ε"(␈↓ α≤␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αL␈ε(a␈↓ αp␈ε(a␈↓ β∀␈ε(a␈↓ β7␈ε(a␈↓ β[␈ε".␈↓ βe␈ε(a␈↓ ∧'␈ε(a␈↓ ∧n␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬≡␈ε")
␈βπj␈↓ α←␈ε%3␈↓ ββ␈ε%2␈↓ β'␈ε%1␈↓ βJ␈ε%0␈↓ βx␈ε9␈␈ε%1␈↓ ∧:␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ ¬*␈ε9␈␈ε%10
␈βλ⊗␈↓ ∧l␈ε%3␈↓ ε4␈ε%2␈↓ π⎇␈ε%1
␈βλ≡␈↓ α\␈ε"=␈↓ β
␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β<␈ε"+␈↓ βh␈ε(a␈↓ ∧␈ε"(␈ε6␈␈ε"10␈↓ ∧`␈ε")␈↓ ¬¬␈ε"+␈↓ ¬1␈ε(a␈↓ ¬T␈ε"(␈ε6␈␈ε"10␈↓ ε(␈ε")␈↓ εM␈ε"+␈↓ εy␈ε(a␈↓ π≥␈ε"(␈ε6␈␈ε"10␈↓ πq␈ε")␈↓ λ⊗␈ε"+␈↓ λB␈ε(a␈↓ λn␈ε"+␈↓ 	~␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βλ*␈↓ β{␈ε%3␈↓ ¬D␈ε%2␈↓ π␈ε%1␈↓ λU␈ε%0
␈βλZ␈↓ πu␈ε%1␈↓ 	_␈ε%1
␈βλ←␈↓ α\␈ε"=␈↓ β
␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β<␈ε6␈␈ε"␈αλ1000␈↓ ∧0␈ε(a␈↓ ∧\␈ε"+␈αλ100␈↓ ¬>␈ε(a␈↓ ¬j␈ε6␈␈ε"␈αλ10␈↓ ε:␈ε(a␈↓ εe␈ε"+␈↓ π⊃␈ε(a␈↓ π=␈ε6␈␈↓ λ⊂␈ε(a␈↓ λY␈ε"+␈↓ 	;␈ε(a␈↓ 
∧␈ε6␈␈↓ 
0␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
`␈ε".
␈βλk␈↓ ∧C␈ε%3␈↓ ¬Q␈ε%2␈↓ εM␈ε%1␈↓ π$␈ε%0␈↓ λ#␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	N␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈βλp␈↓ πm␈ε%10␈↓ 		␈ε%100
␈βλs␈↓ πm␈∧λsπmα∨␈↓ 		␈∧λs		α.
␈β	1␈↓ ↓H␈ε"Here␈α
the␈αindividual␈α
digits␈αsatisfy␈α
0␈ε6␈α
∀␈↓ ε_␈ε(a␈↓ εG␈ε6∀␈ε"␈α
9␈αjust␈α
as␈αin␈α
the␈α
decimal␈αsystem.␈α∂The
␈β	>␈↓ ε+␈ε+k
␈β	\␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α12345␈αλ67890␈αappears␈αin␈αthe␈α\␈↓ ε⊂␈ε"negadecimal"␈αsystem␈αas
␈β
4␈↓ ¬∨␈ε"(1␈αλ93755␈αλ73910␈↓ π↓␈ε")␈↓ πK␈ε",␈↓ α␈ε"(6)
␈β
@␈↓ π
␈ε9␈␈ε%10
␈β␈↓ ↓H␈ε"since␈α
the␈α
latter␈α
represen␈α␈ts␈α∞10305070900␈ε6␈α	␈␈ε"␈αλ9070503010.␈α∀It␈α∞is␈α
in␈α␈teresting␈α
to␈α
n␈α↓ote
␈β6␈↓ ↓H␈ε"that␈αthe␈αnegativ␈α␈e␈αof␈αthis␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈ε6␈α␈␈ε"12345␈αλ67890,␈αw␈α␈ould␈αbe␈αwritten
␈β
␈↓ ¬,␈ε"(28466␈αλ48290␈↓ εt␈ε")␈↓ π>␈ε",␈↓ α␈ε"(7)
␈β~␈↓ π␈ε9␈␈ε%10
␈βd␈↓ ↓H␈ε"and,␈αin␈α
fact,␈ε/␈αev␈α␈ery␈αreal␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αwhether␈α
positiv␈α␈e␈αor␈αnegativ␈α␈e␈α
can␈αbe␈αrepresen␈α␈ted
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε/with␈α↓out␈αa␈αsign␈ε"␈αin␈αthe␈ε6␈α␈␈ε"10␈αsystem.
␈β
;␈↓ α␈ε"Negativ␈α␈e-base␈αsystems␈αw␈α␈ere␈α|rst␈αconsidered␈αby␈αVittorio␈↓ λx␈ε"Gr␈↓ 	"␈ε"u␈↓ 	#␈ε"∪␈↓ 	6␈ε"n␈α␈w␈α␈ald␈α
[␈ε/Giornale
␈β
f␈↓ ↓H␈ε/di␈α∂matematiche␈α∂di␈α⊂Battaglini␈ε2␈α∂23␈ε"␈α⊂(1885),␈α⊂203↑221,␈α⊂367],␈α⊂wh␈α↓o␈α⊂explained␈α∂h␈α↓o␈α␈w␈α∂to
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"perform␈α
the␈α
four␈α
arithmetic␈α
operations␈α
in␈α
such␈α
systems;␈αGr␈↓ λ\␈ε"u␈↓ λ]␈ε"∪␈↓ λp␈ε"n␈α␈w␈α␈ald␈α
also␈α
discussed
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"ro␈α↓ot␈αextraction,␈αdivisibilit␈α␈y␈αtests,␈αand␈↓ ε≥␈ε"radix␈αcon␈α␈v␈α␈ersion.␈α⊂Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αsince␈αhis␈αw␈α␈ork
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α⊂published␈α⊂in␈α⊂a␈α⊂rather␈α⊃obscure␈α⊂journal,␈α⊃it␈α⊂seems␈α⊂to␈α⊃ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂had␈α⊂n␈α↓o␈α⊂e{ect␈α⊂on
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"other␈αresearch,␈αand␈αit␈αw␈α␈as␈αso␈α↓on␈αforgotten.␈α∂The␈αnext␈αpublication␈αabout␈αnegativ␈α␈e-
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"base␈α∩systems␈α∩w␈α␈as␈α∪apparen␈α␈tly␈α∩by␈α∪A.␈α∩J.␈↓ εM␈ε"Kempner␈α∪[␈ε/AMM␈ε2␈α∩43␈ε"␈α∩(1936),␈α∀610↑617],
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"wh␈α↓o␈αdiscussed␈α
the␈αproperties␈αof␈α
n␈α↓on-in␈α␈teger␈αradices␈α
and␈αremark␈α␈ed␈α
in␈αa␈αfo␈α↓otn␈α↓ote
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞negativ␈α␈e␈α∂radices␈α∞w␈α␈ould␈α∂be␈α∞feasible␈α∂to␈α↓o.␈α↔A$er␈α∞t␈α␈w␈α␈en␈α␈t␈α␈y␈α∂m␈α↓ore␈α∞y␈α␈ears␈α∂the␈α∞idea
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α∂redisco␈α␈v␈α␈ered␈α⊂again,␈α⊃this␈α⊂time␈α∂by␈α⊂Z.␈↓ εT␈ε"Pa␈α␈wlak␈α∂and␈α⊂A.␈↓ λT␈ε"W␈α⎇akulicz␈α⊂[␈ε/Bulletin␈α∂de
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε/l'Academie␈αλPolonaise␈αλdes␈αλSciences␈ε",␈α	Classe␈αλIII,␈ε2␈αλ5␈ε"␈α	(1957),␈α	233↑236;␈α	S␈↓ 	7␈ε"∞␈↓ 	8␈ε"e␈↓ 	H␈ε"rie␈αλdes␈αλsciences
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"techniques␈ε2␈α⊂7␈ε"␈α⊂(1959),␈α⊃713↑721],␈α⊃and␈α⊂also␈α⊂by␈α⊂L.␈↓ π:␈ε"W␈α⎇adel␈α⊂[␈ε/IRE␈α⊂T␈α⎇ransactions␈ε2␈α⊂EC-6
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"189
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"(1957),␈α∞123].␈α↔F␈α⎇or␈α∞further␈α∞references␈α∞see␈ε/␈α∞IEEE␈α∞T␈α⎇ransactions␈ε2␈α∂EC-12␈ε"␈α∞(1963),␈α∞274↑
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"276;␈ε/␈α∩Computer␈α∂Design␈ε2␈α⊂6␈ε"␈α⊂(Ma␈α␈y␈α⊂1967),␈α⊃52↑63.␈α≤There␈α⊂is␈α⊂evidence␈α⊂that␈α⊂the␈α∂idea
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞negativ␈α␈e␈α∂bases␈α∂occurred␈α∂independen␈α␈tly␈α∞to␈α∂quite␈α∂a␈α∂few␈α∞people.␈α→F␈α⎇or␈α∞example,
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"D.␈α	E.␈↓ α ␈ε"Kn␈α␈uth␈α	had␈α	discussed␈α	negativ␈α␈e-base␈α	systems␈α	in␈α	1955,␈α	together␈α	with␈α	a␈α	further
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"generalization␈α
to␈αcomplex-v␈α}alued␈α
bases,␈αin␈αa␈α
sh␈α↓ort␈αpaper␈αsubmitted␈α
to␈αa␈α
\science
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"talen␈α␈t␈αsearch"␈αcon␈α␈test␈αfor␈αhigh-sch␈α↓o␈α↓ol␈αseniors.
␈β∧%␈↓ α␈ε"The␈α⊂base␈α⊂2␈ε(i␈ε"␈α⊂giv␈α␈es␈α⊂rise␈α⊂to␈α∂a␈α⊂system␈α⊂called␈α⊂the␈α⊂\␈↓ λλ␈ε"quater-imaginary"␈↓ 
6␈ε"n␈α␈um␈α␈ber
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"system␈α	(by␈α	analogy␈α	with␈α	\quaternary"),␈α
which␈α	has␈α	the␈α	un␈α␈usual␈α	feature␈α	that␈ε/␈α	ev␈α␈ery
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε/complex␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
can␈αbe␈α
represen␈α␈ted␈αwith␈α
the␈α
digits␈ε"␈α0␈ε/,␈ε"␈α
1␈ε/,␈ε"␈α2␈ε/,␈αand␈ε"␈α
3␈ε/␈αwith␈α↓out␈α
a␈α
sign␈ε".
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"[See␈αD.␈αE.␈↓ αp␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈αCA␈α␈CM␈ε2␈α3␈ε"␈α(1960),␈α245↑247.]␈α→F␈α⎇or␈αexample,
␈β¬f␈↓ 	C␈ε%1␈↓ 
h␈ε%1
␈β¬k␈↓ ↓l␈ε"(11210.31␈↓ β␈ε")␈↓ β2␈ε"=␈α
1␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ16␈αλ+␈αλ1␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ(␈ε6␈␈ε"8␈ε(i␈ε")␈αλ+␈αλ2␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ(␈ε6␈␈ε"4)␈αλ+␈αλ1␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ(2␈ε(i␈ε"␈α↓)␈αλ+␈αλ3␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ(␈ε6␈␈↓ 	V␈ε(i␈ε")␈αλ+␈αλ1(␈ε6␈␈↓ 
|␈ε")
␈β¬w␈↓ β␈ε%2␈ε+␈α↓i
␈β¬{␈↓ 	C␈ε%2␈↓ 
h␈ε%4
␈β¬␈␈↓ 	C␈∧¬␈	Cα⊂␈↓ 
h␈∧¬␈
hα⊂
␈βε'␈↓ βv␈ε%3␈↓ ∧S␈ε%1
␈βε+␈↓ β2␈ε"=␈α
7␈↓ ∧⊃␈ε6␈␈ε"␈αλ7␈↓ ∧f␈ε(i␈ε"␈α↓.
␈βε<␈↓ βv␈ε%4␈↓ ∧S␈ε%2
␈βε@␈↓ βv␈∧ε@βvα⊂␈↓ ∧S␈∧ε@∧Sα⊂
␈βεo␈↓ ↓H␈ε"Here␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α(␈↓ βh␈ε(a␈↓ ∧$␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧T␈ε(a␈↓ ∧x␈ε(a␈↓ ¬≤␈ε".␈↓ ¬&␈ε(a␈↓ ¬m␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε≥␈ε(a␈↓ εo␈ε")␈↓ π"␈ε"is␈αequal␈αto
␈βε{␈↓ β{␈ε%2␈ε+n␈↓ ∧g␈ε%1␈↓ ¬␈ε%0␈↓ ¬9␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ε0␈ε9␈␈ε%2␈↓ ε]␈ε+k␈↓ ε{␈ε%2␈ε+i
␈βπ5␈↓ α⊃␈ε"(␈↓ α≥␈ε(a␈↓ αZ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β
␈ε(a␈↓ β-␈ε(a␈↓ βQ␈ε".␈↓ β[␈ε(a␈↓ ∧#␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈ε(a␈↓ ¬%␈ε")␈↓ ¬g␈ε"+␈αλ2␈ε(i␈ε"(␈↓ ε=␈ε(a␈↓ π'␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πW␈ε(a␈↓ πz␈ε(a␈↓ λ≡␈ε".␈↓ λ(␈ε(a␈↓ λp␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	 ␈ε(a␈↓ 
≡␈ε")␈↓ 
Y␈ε",
␈βπB␈↓ α0␈ε%2␈ε+n␈↓ β≥␈ε%2␈↓ β@␈ε%0␈↓ βn␈ε9␈␈ε%2␈↓ ∧f␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ ¬∩␈ε+k␈↓ ¬1␈ε9␈␈ε%␈α␈4␈↓ εP␈ε%2␈ε+␈α↓n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ πj␈ε%3␈↓ λ
␈ε%1␈↓ λ;␈ε9␈␈ε%1␈↓ 	3␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ 	←␈ε+k␈↓ 	p␈ε%+1␈↓ 
*␈ε9␈␈ε%4
␈βπ|␈↓ ↓H␈ε"so␈αλcon␈α␈v␈α␈ersion␈αλto␈αλand␈α	from␈αλquater-imaginary␈αλn␈α↓otation␈↓ πz␈ε"reduces␈α	to␈αλcon␈α␈v␈α␈ersion␈αλto␈αλand
␈βλ'␈↓ ↓H␈ε"from␈α∞negativ␈α␈e␈α∞quaternary␈α∞represen␈α␈tation␈α∞of␈α∞the␈α∂real␈α∞and␈α∞imaginary␈α∞parts.␈α⊗The
␈βλR␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teresting␈α
propert␈α␈y␈α∞of␈α∞this␈α∞system␈α∞is␈α
that␈α∞it␈α∞allo␈α␈ws␈α∞m␈α␈ultiplication␈α∞and␈α
division
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈ε"of␈αcomplex␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αto␈α
be␈αdone␈αin␈αa␈αfairly␈α
uni|ed␈αmanner␈αwith␈α↓out␈αtreating␈αreal
␈β	)␈↓ ↓H␈ε"and␈α
imaginary␈α
parts␈α
separately.␈α∪F␈α⎇or␈α
example,␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
m␈α␈ultiply␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
in
␈β	T␈↓ ↓H␈ε"this␈αsystem␈αm␈α␈uch␈αas␈αw␈α␈e␈αdo␈αwith␈αan␈α␈y␈αbase,␈αmerely␈αusing␈αa␈αdi{eren␈α␈t␈α\carry"␈αrule:
␈β	␈␈↓ ↓H␈ε"whenev␈α␈er␈α∞a␈α∞digit␈α∞exceeds␈α∞3␈α∞w␈α␈e␈α∞subtract␈α∞4␈α∞and␈α∞\carry"␈ε6␈α∞␈␈ε"1␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞columns␈α∞to␈α∞the
␈β
*␈↓ ↓H␈ε"le$;␈αwhen␈αa␈αdigit␈αis␈αnegativ␈α␈e,␈αw␈α␈e␈αadd␈α4␈αto␈αit␈αand␈α\carry"␈α+1␈αt␈α␈w␈α␈o␈αcolumns␈α
to␈αthe
␈β
U␈↓ ↓H␈ε"le$.␈α⊂A␈αstudy␈αof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αexample␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthis␈αpeculiar␈αcarry␈αrule␈αat␈αw␈α␈ork:
␈β⊗␈↓ ¬$␈ε"1␈α∩2␈α∩2␈α∩3␈α∩1␈↓ π∞␈ε"[␈↓ π_␈ε"9␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ10␈ε(i␈ε"]
␈βA␈↓ ¬$␈ε"1␈α∩2␈α∩2␈α∩3␈α∩1␈↓ π∞␈ε"[␈↓ π_␈ε"9␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ10␈ε(i␈ε"]
␈βj␈↓ ¬$␈∧j¬$α↓"
␈βr␈↓ ¬$␈ε"1␈α∩2␈α∩2␈α∩3␈α∩1
␈β≥␈↓ ∧∀␈ε"1␈α∩0␈α∩3␈α∩2␈α∩0␈α∩2␈α∩1␈α∩3
␈βH␈↓ ∧\␈ε"1␈α∩3␈α∩0␈α∩2␈α∩2
␈βs␈↓ ∧8␈ε"1␈α∩3␈α∩0␈α∩2␈α∩2
␈β
≡␈↓ ∧∀␈ε"1␈α∩2␈α∩2␈α∩3␈α∩1
␈β
G␈↓ ∧∀␈∧
G∧∀αα3
␈β
P␈↓ ∧∀␈ε"0␈α∩2␈α∩1␈α∩3␈α∩3␈α∩3␈α∩1␈α∩2␈α∩1␈↓ π∞␈ε"[␈↓ π_␈ε6␈␈ε"19␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ180␈ε(i␈ε"]
␈β∞∃␈↓ 
`␈ε6p
␈β∞_␈↓ 
}␈∧∞_
}α∩
␈β∞→␈↓ ↓H␈ε"A␈α∪similar␈α∪system␈α∀that␈α∪uses␈α∪just␈α∪the␈α∀digits␈α∪0␈α∪and␈α∀1␈α∪ma␈α␈y␈α∪be␈α∪based␈α∀on␈↓ 
}␈ε"2␈↓ ⊗␈ε(i␈ε",
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε"but␈α
this␈α∞requires␈α
an␈α∞in|nite␈α∞n␈α↓onrepeating␈α
expansion␈α∞for␈α
the␈α∞simple␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞\␈ε(i␈ε""
␈β∞k␈↓ λj␈ε6p
␈β∞n␈↓ 	λ␈∧∞n	λα∩
␈β∞p␈↓ ↓H␈ε"itself.␈α∂Vittorio␈↓ β3␈ε"Gr␈↓ β]␈ε"u␈↓ β↑␈ε"∪␈↓ βq␈ε"n␈α␈w␈α␈ald␈α
proposed␈α
using␈αthe␈α
digits␈α
0␈α
and␈α
1/␈↓ 	λ␈ε"2␈↓ 	$␈ε"in␈α
odd-n␈α␈um␈α␈bered
␈β∂≠␈↓ ↓H␈ε"positions,␈αto␈αa␈α␈v␈α␈oid␈αsuch␈αa␈αproblem,␈αbut␈αthis␈αactually␈αspoils␈αthe␈αwh␈α↓ole␈αsystem␈α[cf.
␈β∂F␈↓ ↓H␈ε/Commen␈α␈tari␈αdell'␈αA␈α␈teneo␈αdi␈αBrescia␈ε"␈α(1886),␈α43↑54].
␈β∂q␈↓ α␈ε"An␈α↓other␈α∂\binary"␈α⊂complex␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂system␈α∂ma␈α␈y␈α⊂be␈α∂obtained␈α⊂by␈α∂using␈α∂the
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈ε"base␈ε(␈αi␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1,␈αas␈αsuggested␈αby␈αW.␈↓ ¬;␈ε"Penney␈α[␈ε/JA␈α␈CM␈ε2␈α12␈ε"␈α(1965),␈α247↑248]:
␈β⊂←␈↓ ↓l␈ε"(␈↓ ↓}␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ α.␈ε(a␈↓ αQ␈ε(a␈↓ αu␈ε(a␈↓ β→␈ε(a␈↓ β=␈ε(a␈↓ βa␈ε".␈↓ βk␈ε(a␈↓ ∧2␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧b␈ε")
␈β⊂l␈↓ αA␈ε%4␈↓ αd␈ε%3␈↓ βλ␈ε%2␈↓ β,␈ε%1␈↓ βP␈ε%0␈↓ β}␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ∧n␈ε+i␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊃⊃␈↓ λk␈ε%1
␈β⊃∃␈↓ α-␈ε"=␈↓ α[␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β
␈ε6␈␈ε"␈αλ4␈↓ βK␈ε(a␈↓ βw␈ε"+␈αλ(2+2␈ε(i␈ε")␈↓ ¬∂␈ε(a␈↓ ¬;␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈ε(i␈↓ ε¬␈ε(a␈↓ ε1␈ε"+␈αλ(␈ε(i␈ε6␈α↓␈␈ε"1)␈↓ π8␈ε(a␈↓ πd␈ε"+␈↓ λ⊂␈ε(a␈↓ λ;␈ε6␈␈↓ λ␈␈ε"(␈ε(i␈ε"+1)␈↓ 	Y␈ε(a␈↓ 
"␈ε"+␈↓ 
N␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
}␈ε".
␈β⊃"␈↓ β↑␈ε%4␈↓ ¬"␈ε%3␈↓ ε_␈ε%2␈↓ πK␈ε%1␈↓ λ#␈ε%0␈↓ 	l␈ε9␈␈ε%1
␈β⊃&␈↓ λk␈ε%2
␈β⊃*␈↓ λk␈∧⊃*λkα⊂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"190␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈β|␈↓ ↓F␈ε3Fi␈α↓g␈α␈.␈α1␈α␈.␈ε#␈α~Th␈α␈e␈αset␈↓ β6␈ε)S␈↓ βM␈ε#.␈α~(Illustra␈α␈tion␈αb␈α␈y␈αP.␈αM.␈↓ ε2␈ε#F␈α}a␈α␈rm␈α␈w␈α␈ald,␈↓ πV␈ε#R.␈αW␈α↓.␈↓ λ:␈ε#Gosp␈α␈er,␈αan␈α␈d␈αR.␈αE.␈↓ 
N␈ε#M␈α␈aas.)
␈β
␈↓ ↓H␈ε"In␈α
this␈αsystem,␈αonly␈α
the␈αdigits␈α0␈α
and␈α1␈αare␈α
needed.␈α⊂One␈αw␈α␈a␈α␈y␈α
to␈αdem␈α↓onstrate␈α
that
␈β
,␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈ery␈α∞complex␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞has␈α∂such␈α∞a␈α∂represen␈α␈tation␈α∞is␈α∂to␈α∞consider␈α∂the␈α∞in␈α␈teresting
␈β
W␈↓ ↓H␈ε"set␈↓ αα␈ε(S␈↓ α)␈ε"sh␈α↓o␈α␈wn␈α∞in␈α∂Fig.␈α∞1;␈α∂this␈α∞set␈α∂is,␈α∞by␈α∂de|nition,␈α∞all␈α∂poin␈α␈ts␈α∞that␈α∞can␈α∞be␈α∞written
␈β
g␈↓ ↓t␈ε↓P
␈β
|␈↓ βo␈ε9␈␈↓ ∧
␈ε+k
␈β∞α␈↓ ↓H␈ε"as␈↓ α←␈ε(a␈↓ β∧␈ε"(␈ε(i␈ε6␈α	␈␈ε"␈αλ1␈↓ βc␈ε")␈↓ ∧∨␈ε",␈αfor␈α
an␈αin|nite␈αsequence␈↓ π/␈ε(a␈↓ πR␈ε",␈↓ πi␈ε(a␈↓ λ
␈ε",␈↓ λ#␈ε(a␈↓ λG␈ε",␈↓ λ]␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	∪␈ε"of␈α
zeros␈αand␈αones.
␈β∞∞␈↓ αr␈ε+k␈↓ πB␈ε%1␈↓ π|␈ε%2␈↓ λ6␈ε%3
␈β∞∀␈↓ α~␈ε+k␈↓ α+␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β∞,␈↓ 
o␈ε%1
␈β∞1␈↓ ↓H␈ε"Figure␈α∂1␈α⊂sh␈α↓o␈α␈ws␈α⊂that␈↓ ∧≤␈ε(S␈↓ ∧E␈ε"can␈α⊂be␈α⊂decomposed␈α∂in␈α␈to␈α⊂256␈α⊂pieces␈α⊂congruen␈α␈t␈α∂to␈↓ 	␈ε(S␈↓ "␈ε";
␈β∞B␈↓ 
g␈ε%16
␈β∞E␈↓ 
g␈∧∞E
gα∨
␈β∞T␈↓ 	d␈ε8¬
␈β∞\␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ote␈α∂that␈α⊂if␈α⊂the␈α∂diagram␈α⊂of␈↓ ¬∪␈ε(S␈↓ ¬;␈ε"is␈α⊂rotated␈α⊂coun␈α␈terclockwise␈α∂by␈α⊂13␈↓ 	V␈ε"5␈↓ 	u␈ε",␈α⊃w␈α␈e␈α∂obtain
␈β∞i␈↓ εZ␈ε↓␈␈↓ 
I␈ε↓↓
␈β∂β␈↓ ¬q␈ε6p
␈β∂ε␈↓ ε∂␈∧∂εε∂α∩
␈β∂π␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈α∞adjacen␈α␈t␈α∞sets␈α∞congruen␈α␈t␈α∂to␈α∞(1/␈↓ ε∂␈ε"2␈↓ ε!␈ε")␈↓ ε3␈ε(S␈↓ εh␈ε"since␈α∞(␈ε(i␈ε6␈α
␈␈ε"␈α
1)␈↓ λ0␈ε(S␈↓ λW␈ε"=␈↓ 		␈ε(S␈↓ 	+␈ε6[␈ε"␈α
(␈↓ 	[␈ε(S␈↓ 	⎇␈ε"+␈α
1)␈↓ 
W␈ε".␈α⊗F␈α⎇or
␈β∂3␈↓ ↓H␈ε"details␈α∞of␈α∂a␈α∞pro␈α↓of␈α∞that␈↓ ∧;␈ε(S␈↓ ∧b␈ε"con␈α␈tains␈α∂all␈α∞complex␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∞that␈α∂are␈α∞of␈α∞su}cien␈α␈tly
␈β∂↑␈↓ ↓H␈ε"small␈αmagnitude,␈αsee␈αexercise␈α18.
␈β⊂⊗␈↓ α␈ε"Perhaps␈α
the␈αprettiest␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
system␈↓ εU␈ε"of␈α
all␈α
is␈αthe␈ε/␈α
balanced␈α
ternary␈ε"␈α
n␈α↓otation,
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"which␈αconsists␈αof␈αbase-3␈αrepresen␈α␈tation␈αusing␈ε6␈α␈␈ε"1,␈α0,␈αand␈α+1␈αas␈α\␈↓ 	N␈ε"trits"␈α(ternary
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"digits)␈α
instead␈α
of␈α
0,␈α
1,␈α
and␈α
2.␈α∪If␈α
w␈α␈e␈α
use␈α
the␈α
sym␈α␈bol␈↓ πz␈ε"1␈↓ λ→␈ε"to␈α
stand␈α
for␈ε6␈α
␈␈ε"1,␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e
␈β⊂o␈↓ πz␈∧⊂oπzα∩
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"the␈αfollo␈α␈wing␈αexamples␈αof␈αbalanced␈αternary␈αn␈α␈um␈α␈bers:
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"191
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα→␈↓ ∧K␈ε"Balanc␈↓ ¬5␈ε"ed␈αternary␈↓ π+␈ε"Decim␈↓ λ
␈ε"al
␈βαO␈↓ ∧o␈ε"1␈αλ0␈↓ ¬#␈ε"1␈↓ π{␈ε"8
␈βαQ␈↓ ¬#␈∧αQ¬#α∩
␈βαy␈↓ λ⊃␈ε%5
␈βα}␈↓ ∧U␈ε"1␈αλ1␈↓ ¬	␈ε"1␈↓ ¬#␈ε"0␈↓ ¬5␈ε".␈↓ ¬?␈ε"1␈↓ ¬Y␈ε"1␈↓ πi␈ε"32
␈ββ␈↓ ¬	␈∧β¬	α∩␈↓ ¬?␈∧β¬?α∩␈↓ ¬Y␈∧β¬Yα∩
␈ββ∂␈↓ λ⊃␈ε%9
␈ββ∩␈↓ λ⊃␈∧β∩λ⊃α⊂
␈ββ(␈↓ λ⊃␈ε%5
␈ββ-␈↓ ∧U␈ε"1␈↓ ∧o␈ε"1␈↓ ¬	␈ε"1␈αλ0␈↓ ¬5␈ε".1␈αλ1␈↓ πE␈ε6␈␈ε"32
␈ββ.␈↓ ∧U␈∧β.∧Uα∩␈↓ ∧o␈∧β.∧oα∩
␈ββ=␈↓ λ⊃␈ε%9
␈ββA␈↓ λ⊃␈∧βAλ⊃α⊂
␈ββ[␈↓ ∧U␈ε"1␈↓ ∧o␈ε"1␈↓ ¬	␈ε"1␈αλ0␈↓ πE␈ε6␈␈ε"33
␈ββ]␈↓ ∧U␈∧β]∧Uα∩␈↓ ∧o␈∧β]∧oα∩
␈β∧ε␈↓ λ⊃␈ε%1
␈β∧
␈↓ ¬#␈ε"0␈↓ ¬5␈ε".1␈αλ1␈αλ1␈αλ1␈αλ1␈↓ ε9␈ε".␈αε.␈αε.
␈β∧≠␈↓ λ⊃␈ε%2
␈β∧≡␈↓ λ⊃␈∧∧≡λ⊃α⊂
␈β∧N␈↓ α␈ε"One␈α⊂w␈α␈a␈α␈y␈α⊃to␈α⊂|nd␈α⊂the␈α⊂represen␈α␈tation␈α⊃of␈α⊂a␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃in␈α⊂the␈α⊂balanced␈α⊂ternary
␈β∧y␈↓ ↓H␈ε"system␈αis␈αto␈αstart␈αby␈αrepresen␈α␈ting␈αit␈αin␈αternary␈αn␈α↓otation;␈αfor␈αexample,
␈β¬<␈↓ ∧#␈ε"208.3␈α
=␈α
(21201.022002200220␈↓ π{␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ+␈ε")␈↓ λG␈ε".
␈β¬I␈↓ λ7␈ε%3
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"(A␈α∂v␈α␈ery␈α⊂simple␈α∂pencil-and-paper␈α⊂meth␈α↓od␈α⊂for␈α∂con␈α␈v␈α␈erting␈↓ λN␈ε"to␈α∂ternary␈α⊂n␈α↓otation␈α∂is
␈βε+␈↓ ↓H␈ε"giv␈α␈en␈α∂in␈α⊂exercise␈α⊂4.4↑12.)␈α No␈α␈w␈α⊂add␈α∂the␈α⊂in|nite␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ λa␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	⊃␈ε"11111.11111␈↓ 
U␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∞␈ε"in
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"ternary␈αn␈α↓otation;␈αw␈α␈e␈αobtain,␈αin␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample,␈αthe␈αin|nite␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈βπ→␈↓ ∧↔␈ε"(␈↓ ∧)␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧Y␈ε"11111210012.210121012101␈↓ λπ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ7␈ε")␈↓ λS␈ε".
␈βπ&␈↓ λC␈ε%3
␈βπ]␈↓ ↓H␈ε"Finally,␈αsubtract␈↓ β[␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈ε"11111.11111␈↓ ¬O␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε¬␈ε"by␈αdecremen␈α␈ting␈αeach␈αdigit;␈αw␈α␈e␈αget
␈βλ ␈↓ ∧~␈ε"208.3␈α
=␈α
(10␈↓ ¬T␈ε"1␈↓ ¬f␈ε"1␈↓ ¬x␈ε"01.10␈↓ εJ␈ε"1␈↓ ε\␈ε"010␈↓ π∩␈ε"1␈↓ π$␈ε"010␈↓ πZ␈ε"1␈↓ πl␈ε"0␈↓ λ∧␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ4␈ε")␈↓ λP␈ε".␈↓ α␈ε"(8)
␈βλ"␈↓ ¬T␈∧λ"¬Tα∩␈↓ ¬f␈∧λ"¬fα∩␈↓ εJ␈∧λ"εJα∩␈↓ π∩␈∧λ"π∩α∩␈↓ πZ␈∧λ"πZα∩
␈βλ,␈↓ λ@␈ε%3
␈βλc␈↓ ↓H␈ε"This␈α⊂process␈α⊂ma␈α␈y␈α⊂clearly␈α⊂be␈α⊂made␈α⊂rigorous␈α⊂if␈α⊂w␈α␈e␈α⊂replace␈α⊂the␈α⊂arti|cial␈α⊂in|nite
␈β	∞␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈↓ αJ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αz␈ε"11111.11111␈↓ ∧>␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧t␈ε"by␈αa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αwith␈αsuitably␈αman␈α␈y␈αones.
␈β	:␈↓ α␈ε"The␈αbalanced␈αternary␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αsystem␈αhas␈αman␈α␈y␈αpleasan␈α␈t␈αproperties:
␈β	r␈↓ ↓b␈ε"a)␈↓ α␈ε"The␈αnegativ␈α␈e␈αof␈αa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αis␈αobtained␈αby␈αin␈α␈terchanging␈α1␈αand␈↓ 	↑␈ε"1␈↓ 	p␈ε".
␈β	t␈↓ 	↑␈∧	t	↑α∩
␈β
$␈↓ ↓`␈ε"b)␈↓ α␈ε"The␈αsign␈αof␈αa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αis␈αgiv␈α␈en␈αby␈αits␈αm␈α↓ost␈αsigni|can␈α␈t␈αn␈α↓onzero␈α\trit,"␈αand␈αin
␈β
O␈↓ α␈ε"general␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
compare␈α
an␈α␈y␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
by␈α
reading␈α
them␈αfrom␈α
le$␈α
to␈α
righ␈α␈t
␈β
z␈↓ α␈ε"and␈αusing␈αlexicographic␈αorder,␈αas␈αin␈αthe␈αdecimal␈αsystem.
␈β,␈↓ ↓d␈ε"c)␈↓ α␈ε"The␈α∞operation␈α
of␈α∞rounding␈α∞to␈α
the␈α∞nearest␈α∞in␈α␈teger␈α
is␈α∞iden␈α␈tical␈α∞to␈α
truncation
␈βW␈↓ α␈ε"(i.e.,␈αdeleting␈αev␈α␈erything␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αof␈αthe␈αradix␈αpoin␈α␈t).
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"Addition␈αin␈αthe␈αbalanced␈αternary␈αsystem␈αis␈αquite␈αsimple,␈αusing␈αthe␈αtable
␈βP␈↓ ↓Z␈ε"1␈↓ αλ␈ε"1␈↓ α7␈ε"1␈↓ αf␈ε"1␈↓ β∃␈ε"1␈↓ βD␈ε"1␈↓ βr␈ε"1␈↓ ∧!␈ε"1␈↓ ∧P␈ε"1␈↓ ∧␈␈ε"0␈↓ ¬.␈ε"0␈↓ ¬\␈ε"0␈↓ ε␈ε"0␈↓ ε:␈ε"0␈↓ εi␈ε"0␈↓ π_␈ε"0␈↓ πF␈ε"0␈↓ πu␈ε"0␈↓ λ$␈ε"1␈↓ λS␈ε"1␈↓ 	α␈ε"1␈↓ 	0␈ε"1␈↓ 	←␈ε"1␈↓ 
∞␈ε"1␈↓ 
=␈ε"1␈↓ 
l␈ε"1␈↓ ~␈ε"1
␈βR␈↓ ↓Z␈∧R↓Zα∩␈↓ αλ␈∧Rαλα∩␈↓ α7␈∧Rα7α∩␈↓ αf␈∧Rαfα∩␈↓ β∃␈∧Rβ∃α∩␈↓ βD␈∧RβDα∩␈↓ βr␈∧Rβrα∩␈↓ ∧!␈∧R∧!α∩␈↓ ∧P␈∧R∧Pα∩
␈β{␈↓ ↓Z␈ε"1␈↓ αλ␈ε"1␈↓ α7␈ε"1␈↓ αf␈ε"0␈↓ β∃␈ε"0␈↓ βD␈ε"0␈↓ βr␈ε"1␈↓ ∧!␈ε"1␈↓ ∧P␈ε"1␈↓ ∧␈␈ε"1␈↓ ¬.␈ε"1␈↓ ¬\␈ε"1␈↓ ε␈ε"0␈↓ ε:␈ε"0␈↓ εi␈ε"0␈↓ π_␈ε"1␈↓ πF␈ε"1␈↓ πu␈ε"1␈↓ λ$␈ε"1␈↓ λS␈ε"1␈↓ 	α␈ε"1␈↓ 	0␈ε"0␈↓ 	←␈ε"0␈↓ 
∞␈ε"0␈↓ 
=␈ε"1␈↓ 
l␈ε"1␈↓ ~␈ε"1
␈β⎇␈↓ ↓Z␈∧⎇↓Zα∩␈↓ αλ␈∧⎇αλα∩␈↓ α7␈∧⎇α7α∩␈↓ ∧␈␈∧⎇∧␈α∩␈↓ ¬.␈∧⎇¬.α∩␈↓ ¬\␈∧⎇¬\α∩␈↓ λ$␈∧⎇λ$α∩␈↓ λS␈∧⎇λSα∩␈↓ 	α␈∧⎇	αα∩
␈β
'␈↓ ↓Z␈ε"1␈↓ αλ␈ε"0␈↓ α7␈ε"1␈↓ αf␈ε"1␈↓ β∃␈ε"0␈↓ βD␈ε"1␈↓ βr␈ε"1␈↓ ∧!␈ε"0␈↓ ∧P␈ε"1␈↓ ∧␈␈ε"1␈↓ ¬.␈ε"0␈↓ ¬\␈ε"1␈↓ ε␈ε"1␈↓ ε:␈ε"0␈↓ εi␈ε"1␈↓ π_␈ε"1␈↓ πF␈ε"0␈↓ πu␈ε"1␈↓ λ$␈ε"1␈↓ λS␈ε"0␈↓ 	α␈ε"1␈↓ 	0␈ε"1␈↓ 	←␈ε"0␈↓ 
∞␈ε"1␈↓ 
=␈ε"1␈↓ 
l␈ε"0␈↓ ~␈ε"1
␈β
(␈↓ ↓Z␈∧
(↓Zα∩␈↓ αf␈∧
(αfα∩␈↓ βr␈∧
(βrα∩␈↓ ∧␈␈∧
(∧␈α∩␈↓ ε␈∧
(εα∩␈↓ π_␈∧
(π_α∩␈↓ λ$␈∧
(λ$α∩␈↓ 	0␈∧
(	0α∩␈↓ 
=␈∧
(
=α∩
␈β
O␈↓ ↓H␈∧
O↓Hα$␈↓ ↓v␈∧
O↓vα$␈↓ α%␈∧
Oα%α$␈↓ αT␈∧
OαTα$␈↓ ββ␈∧
Oββα$␈↓ β2␈∧
Oβ2α$␈↓ β`␈∧
Oβ`α$␈↓ ∧∂␈∧
O∧∂α$␈↓ ∧>␈∧
O∧>α$␈↓ ∧m␈∧
O∧mα$␈↓ ¬≤␈∧
O¬≤α$␈↓ ¬J␈∧
O¬Jα$␈↓ ¬y␈∧
O¬yα$␈↓ ε(␈∧
Oε(α$␈↓ εW␈∧
OεWα$␈↓ πε␈∧
Oπεα$␈↓ π4␈∧
Oπ4α$␈↓ πc␈∧
Oπcα$␈↓ λ∩␈∧
Oλ∩α$␈↓ λA␈∧
OλAα$␈↓ λp␈∧
Oλpα$␈↓ 	≡␈∧
O	≡α$␈↓ 	M␈∧
O	Mα$␈↓ 	|␈∧
O	|α$␈↓ 
+␈∧
O
+α$␈↓ 
Z␈∧
O
Zα$␈↓ λ␈∧
Oλα$
␈β
W␈↓ ↓H␈ε"1␈↓ ↓Z␈ε"0␈↓ ↓v␈ε"1␈↓ αλ␈ε"1␈↓ α7␈ε"1␈↓ αT␈ε"1␈↓ αf␈ε"1␈↓ β∃␈ε"1␈↓ βD␈ε"0␈↓ βr␈ε"1␈↓ ∧!␈ε"0␈↓ ∧P␈ε"1␈↓ ∧m␈ε"1␈↓ ∧␈␈ε"1␈↓ ¬.␈ε"1␈↓ ¬\␈ε"0␈↓ ε␈ε"1␈↓ ε:␈ε"0␈↓ εi␈ε"1␈↓ π_␈ε"0␈↓ πF␈ε"1␈↓ πc␈ε"1␈↓ πu␈ε"1␈↓ λ$␈ε"1␈↓ λS␈ε"0␈↓ 	α␈ε"1␈↓ 	0␈ε"0␈↓ 	←␈ε"1␈↓ 	|␈ε"1␈↓ 
∞␈ε"1␈↓ 
=␈ε"1␈↓ 
Z␈ε"1␈↓ 
l␈ε"1␈↓ λ␈ε"10
␈β
Y␈↓ ↓H␈∧
Y↓Hα∩␈↓ ↓v␈∧
Y↓vα∩␈↓ α7␈∧
Yα7α∩␈↓ αT␈∧
YαTα∩␈↓ β∃␈∧
Yβ∃α∩␈↓ βr␈∧
Yβrα∩␈↓ ∧m␈∧
Y∧mα∩␈↓ ¬.␈∧
Y¬.α∩␈↓ ε␈∧
Yεα∩␈↓ πu␈∧
Yπuα∩␈↓ λ$␈∧
Yλ$α∩␈↓ 
∞␈∧
Y
∞α∩␈↓ 
l␈∧
Y
lα∩
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε"(The␈αthree␈αinputs␈αto␈αthe␈αaddition␈αare␈αthe␈αdigits␈αof␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αto␈αbe␈αadded␈αand
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε"the␈αλcarry␈αλdigits.)␈↓ βS␈ε"Subtraction␈αλis␈α	negation␈αλfollo␈α␈w␈α␈ed␈αλby␈α	addition;␈α	and␈↓ 	Q␈ε"m␈α␈ultiplication
␈β∞q␈↓ ↓H␈ε"also␈αreduces␈αto␈αnegation␈αand␈αaddition,␈αas␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αexample:
␈β∂3␈↓ ¬h␈ε"1␈↓ ε␈ε"1␈↓ ε0␈ε"0␈↓ εT␈ε"1␈↓ π.␈ε"[␈↓ π8␈ε"17]
␈β∂5␈↓ ε␈∧∂5εα∩␈↓ εT␈∧∂5εTα∩
␈β∂↑␈↓ ¬h␈ε"1␈↓ ε␈ε"1␈↓ ε0␈ε"0␈↓ εT␈ε"1␈↓ π.␈ε"[␈↓ π8␈ε"17]
␈β∂`␈↓ ε␈∧∂`εα∩␈↓ εT␈∧∂`εTα∩
␈β⊂π␈↓ ¬h␈∧⊂π¬hα}
␈β⊂∂␈↓ ¬h␈ε"1␈↓ ε␈ε"1␈α∩0␈α∩1
␈β⊂⊂␈↓ ¬h␈∧⊂⊂¬hα∩
␈β⊂:␈↓ ¬ ␈ε"1␈↓ ¬D␈ε"1␈α∩0␈α∩1␈α∩0
␈β⊂;␈↓ ¬ ␈∧⊂;¬ α∩
␈β⊂e␈↓ ∧|␈ε"1␈↓ ¬ ␈ε"1␈↓ ¬D␈ε"0␈↓ ¬h␈ε"1
␈β⊂g␈↓ ¬ ␈∧⊂g¬ α∩␈↓ ¬h␈∧⊂g¬hα∩
␈β⊃∞␈↓ ∧|␈∧⊃∞∧|α↓j
␈β⊃⊗␈↓ ∧|␈ε"0␈α∩1␈α∩1␈↓ ¬h␈ε"1␈↓ ε␈ε"1␈↓ ε0␈ε"0␈α∩1␈↓ π.␈ε"[␈↓ π8␈ε"289]
␈β⊃_␈↓ ¬h␈∧⊃_¬hα∩␈↓ ε␈∧⊃_εα∩
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"192␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"Represen␈α␈tation␈α∪of␈α∪n␈α␈um␈α␈bers␈α∀in␈α∪the␈α∪balanced␈α∪ternary␈α∪system␈α∪is␈α∪implicitly
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"presen␈α␈t␈α
in␈α∞a␈α∞fam␈α↓ous␈α∞mathematical␈α∞puzzle,␈α∞which␈α∞is␈α∞comm␈α↓only␈α∞called␈α
\␈↓ 
(␈ε"Bachet's
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"problem␈αof␈αw␈α␈eigh␈α␈ts"␈α
alth␈α↓ough␈αit␈αw␈α␈as␈α
already␈αstated␈αby␈↓ λ1␈ε"Fibonacci␈αfour␈αcen␈α␈turies
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"before␈αBachet␈αwrote␈αhis␈αbo␈α↓ok.␈α_[See␈αW.␈↓ ε:␈ε"Ahrens,␈ε/␈αMathematische␈αUn␈α␈terhaltungen
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε/und␈αSpiele␈ε2␈α
1␈ε"␈α(Leipzig:␈α
T␈α⎇eubner,␈α1910),␈α
Section␈α
3.4.]␈α~Positional␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αsystems
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"with␈α∞negativ␈α␈e␈α∂digits␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂apparen␈α␈tly␈α∞been␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn␈α∂for␈α∞m␈α↓ore␈α∂than␈α∞1000␈α∂y␈α␈ears␈α∞in
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"India;␈α∀see␈α∩J.␈↓ β#␈ε"Bharati,␈↓ ∧6␈ε/V␈α⎇edic␈α∩Mathematics␈ε"␈α∩(Delhi:␈α↔Motilal␈α⊃Banarsidass,␈α∪1965).
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"They␈α⊂w␈α␈ere␈α⊂independen␈α␈tly␈α⊂redisco␈α␈v␈α␈ered␈α⊂by␈α⊂J.␈↓ π≡␈ε"Colson␈α⊂[␈ε/Philos.␈α∂T␈α⎇rans.␈ε2␈α⊂34␈ε"␈α⊂(1726),
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"161↑173],␈α∩and␈α⊂by␈α⊃Sir␈α⊃John␈↓ ¬λ␈ε"Leslie␈α⊂[␈ε/The␈α⊃Philosoph␈α␈y␈α⊃of␈α⊃Arithmetic␈ε"␈α⊂(Edin␈α␈burgh,
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"1817);␈α∩see␈α⊂pp.␈α⊃33↑34,␈α⊃54,␈α⊃64↑65,␈α⊃117,␈α∩150];␈α∩and␈α⊂also␈α⊃by␈α⊂A.␈↓ 	∩␈ε"Cauch␈α␈y␈α⊂[␈ε/Comptes
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε/Rendus␈ε2␈α11␈ε"␈α(Paris:␈α1840),␈α789↑798],␈αwh␈α↓o␈αpoin␈α␈ted␈αout␈αthat␈αnegativ␈α␈e␈αdigits␈αmak␈α␈e␈αit
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"unnecessary␈αfor␈α
a␈α
person␈αto␈α
mem␈α↓orize␈α
the␈αm␈α␈ultiplication␈α
table␈α
past␈α5␈ε6␈α	α␈ε"␈αλ5.␈α∩The
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"|rst␈α∞true␈α
appearance␈α∞of␈α∞\pure"␈α∞balanced␈α∞ternary␈α∞n␈α↓otation␈α∞w␈α␈as␈α∞in␈α∞an␈α∞article␈α
by
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"L␈↓ ↓←␈ε"∞␈↓ ↓`␈ε"e␈↓ ↓p␈ε"on␈↓ α"␈ε"Lalanne␈α[␈ε/Comptes␈α
Rendus␈ε2␈α11␈ε"␈α
(Paris:␈α1840),␈α
903↑905],␈αwh␈α↓o␈α
w␈α␈as␈αa␈αdesigner
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂mechanical␈α⊂devices␈α⊂for␈α⊃arithmetic.␈α≤The␈α⊃system␈α⊂w␈α␈as␈α⊂men␈α␈tioned␈α⊂only␈α⊂rarely
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"for␈α100␈αy␈α␈ears␈αa$er␈αLalanne's␈αpaper,␈αun␈α␈til␈αthe␈αdev␈α␈elopmen␈α␈t␈αof␈αthe␈α|rst␈αelectronic
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"computers␈αat␈α
the␈α
Mo␈α↓ore␈α
Sch␈α↓o␈α↓ol␈α
of␈α
Electrical␈α
Engineering␈αin␈α
1945↑1946;␈α∞at␈αthat
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"time␈α	it␈α	w␈α␈as␈α
giv␈α␈en␈α	serious␈α	consideration␈α
along␈α	with␈α
the␈α	binary␈α	system␈α
as␈α	a␈α	possible
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"replacemen␈α␈t␈αfor␈α
the␈αdecimal␈α
system.␈α⊃The␈α
complexit␈α␈y␈αof␈αarithmetic␈α
circuitry␈αfor
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"balanced␈α
ternary␈α
arithmetic␈αis␈α
n␈α↓ot␈α
m␈α␈uch␈α
greater␈αthan␈α
it␈α
is␈αfor␈α
the␈α
binary␈α
system,
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"and␈α
a␈α∞giv␈α␈en␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞requires␈α∞only␈↓ ¬k␈ε"ln␈↓ ε∂␈ε"2/␈↓ ε9␈ε"ln␈↓ ε]␈ε"3␈ε6␈α
→␈ε"␈α
63%␈α∞as␈α∞man␈α␈y␈α∞digit␈α∞positions␈α
for
␈β	/␈↓ ↓H␈ε"its␈α∞represen␈α␈tation.␈α_Discussions␈α∂of␈α∂the␈α∂balanced␈α∞ternary␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂system␈α∞appear
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"in␈ε/␈α∞AMM␈ε2␈α∞57␈ε"␈α∞(1950),␈α∞90↑93,␈α∂and␈α∞in␈ε/␈α∞High-speed␈α∞Computing␈α∞Devices␈ε",␈↓ 	r␈ε"Engineering
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"Research␈α∞Associates␈α∞(McGra␈α␈w-Hill,␈α∂1950),␈α∞287↑289.␈α↔The␈α∞experimen␈α␈tal␈α∞Russian
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"computer␈↓ αg␈ε"SETUN␈αw␈α␈as␈αbased␈αon␈αbalanced␈αternary␈αn␈α↓otation␈α[see␈ε/␈αCA␈α␈CM␈ε2␈α3␈ε"␈α(1960),
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"149↑150],␈α∂and␈α∂perhaps␈α∂the␈α∂symmetric␈α∂properties␈α∂and␈α∂simple␈α∂arithmetic␈α∂of␈α∞this
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈αsystem␈αwill␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αto␈αbe␈αquite␈αimportan␈α␈t␈αsome␈αda␈α␈y←when␈αthe␈α\⎇ip-⎇op"
␈β2␈↓ ↓H␈ε"is␈αreplaced␈αby␈αa␈α\⎇ip-⎇ap-⎇op".
␈βh␈↓ α␈ε"Positional␈α
n␈α↓otation␈α
generalizes␈α∞in␈α
an␈α↓other␈α
importan␈α␈t␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α
a␈ε/␈α
mixed-radix
␈β∪␈↓ ↓H␈ε"system.␈α⊂Giv␈α␈en␈αa␈αsequence␈αof␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ε∨␈ε6h␈↓ ε+␈ε(b␈↓ εN␈ε6i␈ε"␈α(where␈ε(␈αn␈ε"␈αma␈α␈y␈αbe␈αnegativ␈α␈e),␈αw␈α␈e␈αde|ne
␈β∨␈↓ ε:␈ε+n
␈β[␈↓ ↓`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ α⊂␈ε",␈↓ α ␈ε(a␈↓ αD␈ε",␈↓ αT␈ε(a␈↓ αx␈ε",␈↓ βλ␈ε(a␈↓ β,␈ε",␈↓ β<␈ε(a␈↓ β`␈ε";␈↓ βt␈ε(a␈↓ ∧5␈ε",␈↓ ∧I␈ε(a␈↓ ¬
␈ε",␈↓ ¬ ␈ε".␈αε.␈αε.
␈βa␈↓ ↓L␈ε↓∀␈↓ ¬P␈ε↓∃
␈βh␈↓ α3␈ε%3␈↓ αg␈ε%2␈↓ β≠␈ε%1␈↓ βO␈ε%0␈↓ ∧π␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ∧\␈ε9␈␈ε%2
␈β
⊃␈↓ ↓`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ α⊂␈ε",␈↓ α$␈ε(b␈↓ αD␈ε",␈↓ αX␈ε(b␈↓ αx␈ε",␈↓ β␈ε(b␈↓ β,␈ε",␈↓ β@␈ε(b␈↓ β`␈ε";␈↓ βw␈ε(b␈↓ ∧5␈ε",␈↓ ∧M␈ε(b␈↓ ¬
␈ε",␈↓ ¬ ␈ε".␈αε.␈αε.
␈β
↔␈↓ α␈ε"(9)
␈β
≡␈↓ α3␈ε%3␈↓ αg␈ε%2␈↓ β≠␈ε%1␈↓ βO␈ε%0␈↓ ∧π␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ∧\␈ε9␈␈ε%2
␈β
M␈↓ ↓z␈ε"=␈↓ α(␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αZ␈ε"+␈↓ βε␈ε(a␈↓ β*␈ε(b␈↓ βJ␈ε(b␈↓ βj␈ε(b␈↓ ∧∩␈ε"+␈↓ ∧>␈ε(a␈↓ ∧b␈ε(b␈↓ ¬α␈ε(b␈↓ ¬*␈ε"+␈↓ ¬V␈ε(a␈↓ ¬z␈ε(b␈↓ ε"␈ε"+␈↓ εN␈ε(a␈↓ εz␈ε"+␈↓ π&␈ε(a␈↓ πg␈ε"/␈↓ πy␈ε(b␈↓ λ?␈ε"+␈↓ λk␈ε(a␈↓ 	,␈ε"/␈↓ 	>␈ε(b␈↓ 	|␈ε(b␈↓ 
B␈ε"+␈↓ 
n␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ≡␈ε".
␈β
Z␈↓ β→␈ε%3␈↓ β9␈ε%2␈↓ βZ␈ε%1␈↓ βz␈ε%0␈↓ ∧Q␈ε%2␈↓ ∧q␈ε%1␈↓ ¬⊃␈ε%0␈↓ ¬i␈ε%1␈↓ ε	␈ε%0␈↓ εa␈ε%0␈↓ π9␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ	␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λ}␈ε9␈␈ε%2␈↓ 	N␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 
␈ε9␈␈ε%2
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε"In␈α
the␈α
simplest␈α
mixed-radix␈α
systems,␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈ork␈α
only␈α
with␈α
in␈α␈tegers;␈α∞w␈α␈e␈α
let␈↓ 
K␈ε(b␈↓ 
k␈ε",␈↓ α␈ε(b␈↓ "␈ε",
␈β∞&␈↓ 
Z␈ε%0␈↓ ∩␈ε%1
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε(b␈↓ ↓h␈ε",␈↓ α␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ α8␈ε"be␈α∞in␈α␈tegers␈α∞greater␈α∞than␈α∂one,␈α∞and␈α∞deal␈α∂only␈α∞with␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞that␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞n␈α↓o
␈β∞Q␈↓ ↓W␈ε%2
␈β∞p␈↓ ↓H␈ε"radix␈αpoin␈α␈t,␈αwhere␈↓ βu␈ε(a␈↓ ∧(␈ε"is␈αrequired␈αto␈αlie␈αin␈αthe␈αrange␈α0␈ε6␈α
∀␈↓ λH␈ε(a␈↓ λy␈ε"<␈↓ 	'␈ε(b␈↓ 	K␈ε".
␈β∞⎇␈↓ ∧λ␈ε+n␈↓ λ[␈ε+n␈↓ 	6␈ε+n
␈β∂≠␈↓ α␈ε"One␈α⊃of␈α∩the␈α⊃m␈α↓ost␈α⊃importan␈α␈t␈α∩mixed-radix␈α⊃systems␈α⊃is␈α∩the␈↓ 	#␈ε/factorial␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber
␈β∂G␈↓ ↓H␈ε/system␈ε",␈α
where␈↓ β4␈ε(b␈↓ βc␈ε"=␈ε(␈αn␈ε"␈α	+␈α	2.␈α∀Using␈α
this␈α∞system,␈α
w␈α␈e␈α
can␈α∞represen␈α␈t␈α
ev␈α␈ery␈α
positiv␈α␈e
␈β∂S␈↓ βC␈ε+n
␈β∂r␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teger␈αuniquely␈αin␈αthe␈αform
␈β⊂D␈↓ βx␈ε(c␈↓ ∧"␈ε(n␈ε"!␈αλ+␈↓ ∧v␈ε(c␈↓ ¬L␈ε"(␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1)!␈αλ+␈↓ ε}␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π0␈ε"+␈↓ π\␈ε(c␈↓ λα␈ε"2!␈αλ+␈↓ λR␈ε(c␈↓ λr␈ε",␈↓ 
p␈ε"(10)
␈β⊂P␈↓ ∧λ␈ε+n␈↓ ¬¬␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ πk␈ε%2␈↓ λa␈ε%1
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"where␈α0␈ε6␈α
∀␈↓ αz␈ε(c␈↓ β%␈ε6∀␈↓ βS␈ε(k␈↓ βs␈ε"for␈α1␈ε6␈α
∀␈↓ ∧u␈ε(k␈↓ ¬∪␈ε6∀␈ε(␈α
n␈ε",␈αand␈↓ ε3␈ε(c␈↓ εa␈ε6≤␈ε"␈α
0.␈α→(See␈αAlgorithm␈α3.3.2P.)
␈β⊃#␈↓ β	␈ε+k␈↓ εB␈ε+n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"193
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα$␈↓ α␈ε"Mixed-radix␈α
systems␈αare␈α
familiar␈α
in␈αev␈α␈eryda␈α␈y␈α
life,␈α
when␈αw␈α␈e␈α
deal␈α
with␈αunits
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"of␈α
measure.␈α⊂F␈α⎇or␈αexample,␈αthe␈α
quan␈α␈tit␈α␈y␈α\3␈αw␈α␈eeks,␈↓ πJ␈ε"2␈α
da␈α␈ys,␈α9␈αh␈α↓ours,␈α22␈α
min␈α␈utes,␈α57
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"seconds,␈αand␈α492␈αmilliseconds"␈αis␈αequal␈αto
␈ββM␈↓ ∧C␈ε↓∀␈↓ π↔␈ε↓∃
␈ββP␈↓ ∧Q␈ε"3,␈↓ ∧y␈ε"2,␈↓ ¬3␈ε"9,␈↓ ¬[␈ε"22,␈↓ ε∃␈ε"57;␈↓ εa␈ε"492
␈ββf␈↓ π1␈ε"seconds.
␈ββ{␈↓ ∧y␈ε"7,␈↓ ¬!␈ε"24,␈↓ ¬[␈ε"60,␈↓ ε∃␈ε"60;␈↓ εO␈ε"1000
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"The␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈α\10␈αpounds,␈α6␈αshillings,␈αand␈αthruppence␈αha'penn␈α␈y"␈αw␈α␈as␈αonce␈αequal
␈β∧t␈↓ αε␈ε%10,␈↓ αJ␈ε%6,␈↓ α␈␈ε%3␈α↓;␈↓ β%␈ε%1
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈ε"to␈↓ ↓w␈ε"[␈↓ β9␈ε"]␈α∂pence␈α⊂in␈α⊂British␈α⊂currency,␈α⊂before␈α⊂Great␈α⊂Britain␈α⊂changed␈α⊂to␈α∂a
␈β¬∞␈↓ α;␈ε%20,␈↓ αp␈ε%12␈α↓;␈↓ β%␈ε%2
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε"purely␈αdecimal␈αm␈α↓onetary␈αsystem.
␈β¬T␈↓ α␈ε"It␈αλis␈αλpossible␈αλto␈αλadd␈αλand␈αλsubtract␈αλmixed-radix␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈αλby␈αλusing␈αλa␈αλstraigh␈α␈tfor-
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ard␈α
generalization␈α
of␈α
the␈α
usual␈α
addition␈α
and␈α
subtraction␈α
algorithms,␈α
pro␈α␈vided
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂course␈α⊃that␈α⊃the␈α⊂same␈α⊃mixed-radix␈α⊃system␈α⊂is␈α⊃being␈α⊂used␈α⊃for␈α⊃both␈α⊂operands
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"(see␈αexercise␈α4.3.1↑9).␈α⊃Similarly,␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
easily␈αm␈α␈ultiply␈αor␈α
divide␈αa␈αmixed-radix
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α	by␈α	small␈α	in␈α␈teger␈α	constan␈α␈ts,␈α	using␈α	simple␈α	extensions␈α	of␈α	the␈α	familiar␈α	pencil-
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"and-paper␈αmeth␈α↓ods.
␈βπX␈↓ α␈ε"Mixed-radix␈αsystems␈αw␈α␈ere␈α|rst␈αdiscussed␈αin␈αfull␈αgeneralit␈α␈y␈αby␈αGeorg␈↓ 
?␈ε"Can␈α␈tor
␈βλβ␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/Zeitschri$␈αf␈↓ β␈ε/u␈↓ β
␈ε/∪␈↓ β ␈ε/r␈αMath.␈αund␈αPh␈α␈ysik␈ε2␈α
14␈ε"␈α(1869),␈α121↑128].␈α⊃Exercises␈α26␈αand␈α29␈αgiv␈α␈e
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"further␈αinformation␈αabout␈αthem.
␈βλf␈↓ α␈ε"Some␈α
questions␈α∞concerning␈ε/␈α
irrational␈ε"␈α
radices␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞been␈α
in␈α␈v␈α␈estigated␈α
by␈α
W.
␈β	⊃␈↓ ↓H␈ε"Parry,␈ε/␈αActa␈αMathematica␈ε",␈αAcad.␈αSci.␈αHung.,␈ε2␈α11␈ε"␈α(1960),␈α401↑416.
␈β	=␈↓ α␈ε"Besides␈α
the␈α
systems␈α
described␈α
in␈α
this␈α	section,␈αsev␈α␈eral␈α
other␈α
w␈α␈a␈α␈ys␈α
to␈α	represen␈α␈t
␈β	h␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α
are␈α∞men␈α␈tioned␈α∞elsewhere␈α∞in␈α∞this␈α∞series␈α
of␈α∞bo␈α↓oks:␈α⊂the␈↓ 	 ␈ε"bin␈α↓omial␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε"system␈α∩(exercise␈α∩1.2.6↑56);␈α∃the␈↓ ¬M␈ε"Fibonacci␈α∩n␈α␈um␈α␈ber␈α∩system␈α∩(exercises␈α∩1.2.8↑34,
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"5.4.2↑10);␈α⊃the␈↓ β0␈ε"phi␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂system␈α∂(exercise␈α∂1.2.8↑35);␈α⊃m␈α↓odular␈α∂represen␈α␈tations
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"(Section␈α4.3.2);␈↓ β>␈ε"Gra␈α␈y␈αcode␈α(Section␈α7.2.1);␈αand␈↓ π&␈ε"roman␈αn␈α␈umerals␈α(Section␈α9.1).
␈βr␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈βE␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ex␈α␈press␈ε7␈α␈␈ε#10␈α␈,␈ε7␈α␈␈ε#9,␈↓ ∧s␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∨␈ε#,␈α9␈α␈,␈α1␈α␈0␈αin␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αsy␈α␈stem␈αwhose␈αb␈α␈ase␈αis␈ε7␈α␈␈ε#2.
␈βx␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βz␈↓ ↓c␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)24␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Co␈α␈nside␈α␈r␈αth␈α␈e␈α
foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
fou␈α␈r␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
syste␈α␈ms:␈α↔(a␈α␈)␈↓ λ'␈ε#b␈α␈inary␈α	(␈↓ 	~␈ε#sig␈α␈ned␈α
m␈α␈agn␈α␈itud␈α␈e);
␈β
∨␈↓ 	R␈ε&1
␈β
"␈↓ ↓H␈ε#(b␈α␈)␈↓ ↓|␈ε#ne␈α␈gab␈α␈inary␈α(rad␈α␈ix␈ε7␈α␈␈ε#2);␈α~(c)␈↓ ¬≤␈ε#ba␈α␈lanc␈α␈ed␈αterna␈α␈ry;␈αan␈α␈d␈α~(d)␈αra␈α␈dix␈ε)␈αb␈ε#␈α=␈↓ 	k␈ε#.␈α⊃Use␈αeac␈α␈h␈αo␈α␈f
␈β
2␈↓ 	K␈ε&10
␈β
5␈↓ 	K␈∧
5	Kα≤
␈β
I␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈ese␈αf␈α↓o␈α␈ur␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αsystem␈α␈s␈α
to␈αexp␈α␈ress␈α
e␈α␈ach␈αof␈α
th␈α␈e␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α
th␈α␈ree␈α
n␈α}um␈α}bers:␈α≤(i␈α↓)␈ε7␈α
␈␈ε#49␈α␈;
␈β
n␈↓ α1␈ε&1
␈β
q␈↓ ↓H␈ε#(ii)␈ε7␈α␈␈ε#␈α↓3␈↓ αN␈ε#(sho␈α␈w␈αthe␈α
repe␈α␈ating␈αc␈α␈y␈α␈cle);␈α→(␈α↓iii)␈↓ ε(␈ε)→␈↓ εH␈ε#(to␈αa␈α
few␈αsi␈α↓g␈α␈ni|␈α␈can␈α␈t␈α|␈α␈gu␈α␈res).
␈β∞↓␈↓ α1␈ε&7
␈β∞∧␈↓ α1␈∧∞∧α1α∞
␈β∞%␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ex␈α␈press␈ε7␈α␈␈ε#49␈απ+␈ε)␈απi␈ε#␈αi␈α↓n␈α
the␈↓ ¬@␈ε#q␈α␈ua␈α␈ter-imag␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈↓ πC␈ε#system␈α␈.
␈β∞Z␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Assu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈αw␈α␈e␈αh␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈αa␈↓ ¬w␈ε#pr␈α␈ogra␈α␈m␈αin␈αwhich␈αloca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ 	 ␈ε#co␈α␈n␈α␈tain␈α␈s␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β∞\␈↓ ¬8␈ε∃MIX␈↓ 	β␈ε∃A
␈β∂α␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α	which␈αλthe␈↓ β∞␈ε#rad␈α␈ix␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈α	lies␈α	b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αλb␈α␈ytes␈α	3␈αλan␈α␈d␈α	4␈α␈,␈α
wh␈α␈il␈α↓e␈αλl␈α↓o␈α␈cation␈↓ 	&␈ε#c␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α	a␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β∂∧␈↓ 	␈ε∃B
␈β∂)␈↓ ↓H␈ε#whose␈α	rad␈α␈ix␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α	li␈α↓e␈α␈s␈α
be␈α␈t␈α␈w␈α␈een␈α	by␈α␈tes␈α
2␈α	an␈α␈d␈α	3.␈α∀(Th␈α␈e␈α
le$most␈α
b␈α␈yte␈α	is␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
1␈α␈).␈α∀Where
␈β∂Q␈↓ ↓H␈ε#will␈αt␈α␈he␈αra␈α␈dix␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αb␈α␈e,␈αin␈α
registers␈αA␈αan␈α␈d␈αX,␈αa$er␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α
i␈α↓n␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns?
␈β⊂≤␈↓ β$␈ε#a)␈↓ π∂␈ε#b␈α␈)
␈β⊂≡␈↓ ∧β␈ε∃LDA␈↓ ∧W␈ε∃A␈↓ πo␈ε∃LDA␈↓ λT␈ε∃A
␈β⊂F␈↓ ∧β␈ε∃MUL␈↓ ∧W␈ε∃B␈↓ πo␈ε∃SRAX␈↓ λT␈ε∃5
␈β⊂K␈↓ ∧⎇␈∧⊂K∧⎇≠∂
␈β⊂m␈↓ πo␈ε∃DIV␈↓ λT␈ε∃B
␈β⊂r␈↓ λz␈∧⊂rλz≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"194␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)00␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ex␈α␈plain␈αwh␈α␈y␈αa␈α
n␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈α
in␈α}teger␈αi␈α↓n␈↓ εZ␈ε#n␈α␈i␈α↓n␈α␈es'␈α
co␈α␈mplem␈α␈en␈α␈t␈αn␈α↓o␈α␈tation␈αha␈α␈s␈α
a␈αrepre␈α␈-
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αλi␈α↓n␈↓ αx␈ε#ten's␈αλcom␈α␈plemen␈α}t␈αλn␈α↓ota␈α␈tion␈αλth␈α␈at␈αλi␈α↓s␈αλalw␈α␈a␈α␈y␈α␈s␈α	o␈α␈ne␈αλgre␈α␈ater,␈α	if␈α	th␈α␈e␈αλrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈s
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈αrega␈α␈rde␈α␈d␈αas␈αp␈α␈ositiv␈α␈e.
␈ββ$␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)16␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Wha␈α␈t␈α	a␈α␈re␈α	th␈α␈e␈αλl␈α↓a␈α␈rgest␈αλan␈α␈d␈αλsmallest␈ε)␈αλp␈ε#-bit␈α	in␈α␈te␈α␈gers␈αλtha␈α␈t␈α	ca␈α␈n␈αλbe␈αλrep␈α␈resen␈α}ted␈αλi␈α↓n␈αλ(a␈α␈)
␈ββL␈↓ ↓H␈ε#sig␈α␈ned␈α␈-mag␈α␈nitud␈α␈e␈αλb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈απn␈α↓o␈α␈tation␈απ(includ␈α␈ing␈απon␈α␈e␈αλbit␈αλfor␈απthe␈αλsig␈α␈n),␈α
(b)␈αλt␈α␈w␈α␈o's␈αλc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}t
␈ββt␈↓ ↓H␈ε#nota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α→(c)␈αon␈α␈es'␈αc␈α␈omp␈α␈lemen␈α}t␈αn␈α↓ot␈α␈ation␈α␈?
␈β∧$␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗The␈αtex␈α␈t␈α
d␈α␈e|n␈α␈es␈αten␈α␈'␈α↓s␈αcom␈α␈pleme␈α␈n␈α␈t␈αn␈α↓o␈α␈tation␈αon␈α␈ly␈αfor␈αi␈α↓n␈α}teger␈α␈s␈α
rep␈α␈resen␈α}ted
␈β∧K␈↓ ↓H␈ε#in␈α	a␈α
sing␈α␈l␈α↓e␈α
c␈α␈omp␈α␈uter␈α	wo␈α␈rd.␈α∞I␈α↓s␈α	there␈α
a␈α	w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α	de|␈α␈ne␈α	a␈α
ten␈α␈'␈α↓s␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈α	n␈α↓ota␈α␈tion␈ε0␈α
fo␈α␈r␈α
all
␈β∧s␈↓ ↓H␈ε0re␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈ε#,␈αh␈α␈a␈α␈v␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α\␈α␈i␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈αpre␈α␈cisi␈α↓o␈α␈n,"␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈αto␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t's␈αde|␈α␈nition␈α␈?␈α∂Is␈αth␈α␈ere␈αa
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε#similar␈αw␈α␈a␈α␈y␈α
to␈αde␈α␈|n␈α␈e␈αa␈αn␈α␈i␈α↓n␈α␈es'␈αcomp␈α␈lemen␈α}t␈αn␈α↓o␈α␈tation␈α
for␈αall␈αreal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs?
␈β¬K␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)M1␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αEq.␈α(5).
␈β¬y␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬{␈↓ ↓c␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ch␈α␈an␈α␈ge␈α∩th␈α␈e␈α∩follo␈α␈wing␈↓ ¬.␈ε0o␈α␈ctal␈↓ επ␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α∩to␈↓ πC␈ε0h␈α␈exa␈α␈dec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈ε#␈α∩n␈α↓o␈α␈tation␈α␈,␈α∀using␈α⊃the
␈βε"␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈ex␈α␈ade␈α␈cimal␈αdigits␈↓ βr␈ε#,␈↓ ∧↔␈ε#,␈↓ ∧,␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧X␈ε#,␈↓ ∧⎇␈ε#:␈ε)␈α1␈α␈2␈↓ ¬7␈ε#;␈ε)␈α5␈α␈655␈↓ ε∪␈ε#;␈ε)␈α25␈α␈50␈α␈276␈↓ π ␈ε#;␈ε)␈α76␈α␈545␈α␈336␈↓ λ>␈ε#;␈ε)␈α37␈α␈267␈α␈55␈α␈.
␈βε$␈↓ βa␈ε∃0␈↓ ∧ε␈ε∃1␈↓ ∧l␈ε∃F
␈βεR␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Gen␈α␈eralize␈αEq.␈α(5)␈αto␈↓ ¬4␈ε#mix␈α␈ed-ra␈α␈dix␈αnota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈βπα␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)22␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Desig␈α␈n␈α
a␈α␈n␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αthat␈αuse␈α␈s␈α
th␈α␈e␈ε7␈α
␈␈ε#2␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αsyst␈α␈em␈α
to␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αthe␈αsum
␈βπ*␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α(␈↓ ↓z␈ε)a␈↓ α#␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ αP␈ε)a␈↓ αq␈ε)a␈↓ β∩␈ε#)␈↓ βQ␈ε#and␈α
(␈↓ ∧≥␈ε)b␈↓ ∧C␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧p␈ε)b␈↓ ¬
␈ε)b␈↓ ¬+␈ε#)␈↓ ¬←␈ε#,␈αo␈α␈btain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈α(␈↓ λ:␈ε)c␈↓ 		␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 	5␈ε)c␈↓ 	S␈ε)c␈↓ 	p␈ε#)␈↓ 
%␈ε#.
␈βπ6␈↓ α␈ε,n␈↓ αa␈ε&1␈↓ βα␈ε&0␈↓ β≥␈ε:␈␈ε&2␈↓ ∧,␈ε,n␈↓ ∧}␈ε&1␈↓ ¬≤␈ε&0␈↓ ¬6␈ε:␈␈ε&2␈↓ λI␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓2␈↓ 	C␈ε&1␈↓ 	a␈ε&0␈↓ 	{␈ε:␈␈ε&␈α↓2
␈βπZ␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)23␈↓ α;␈ε#]␈α⊗S␈α␈pec␈α␈i␈α↓fy␈α⊂alg␈α␈orithm␈α␈s␈α⊃th␈α␈at␈α⊃c␈α␈on␈α␈v␈α}ert␈α⊃(a␈α␈)␈α⊃th␈α␈e␈α⊃b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α⊂sign␈α␈ed␈↓ 	∃␈ε#mag␈α␈nitu␈α␈de␈α⊂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βλα␈↓ ↓H␈ε7ε␈ε#(␈↓ ↓t␈ε)a␈↓ α≡␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ αJ␈ε)a␈↓ αk␈ε#)␈↓ β⊃␈ε#to␈αits␈αn␈α␈egab␈α␈ina␈α␈ry␈αform␈α(␈↓ ¬q␈ε)b␈↓ ε@␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ εl␈ε)b␈↓ π
␈ε#)␈↓ π>␈ε#;␈α
an␈α␈d␈α~(␈α↓b␈α␈)␈αthe␈αneg␈α␈ab␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βλ
␈↓ αε␈ε,n␈↓ α\␈ε&0␈↓ αv␈ε&2␈↓ ε␈ε,n␈ε&+1␈↓ εz␈ε&0␈↓ π∃␈ε:␈␈ε&2
␈βλ)␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)b␈↓ α!␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ αM␈ε)b␈↓ αk␈ε#)␈↓ β+␈ε#to␈α
i␈α↓ts␈αsign␈α␈ed␈α
magn␈α␈itud␈α␈e␈αform␈ε7␈αε␈ε#(␈↓ πλ␈ε)a␈↓ πZ␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λε␈ε)a␈↓ λ'␈ε#)␈↓ λB␈ε#.
␈βλ5␈↓ ↓a␈ε,n␈ε&+1␈↓ α\␈ε&0␈↓ αv␈ε:␈␈ε&2␈↓ π~␈ε,n␈ε&+1␈↓ λ_␈ε&0␈↓ λ2␈ε&2
␈βλW␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλY␈↓ ↓S␈ε31␈α␈3.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗In␈α
the␈↓ βb␈ε#d␈α␈ecima␈α␈l␈α∞sy␈α␈stem␈α
th␈α␈ere␈α
are␈α
so␈α␈me␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
w␈α↓ith␈αt␈α␈wo␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈α
decima␈α␈l
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈ns;␈α∩e␈α␈.␈α↓g␈α␈.␈α↓,␈α⊂2.35␈α␈999␈α␈99␈↓ ∧←␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⊗␈ε#=␈α⊃2.36␈α␈000␈α␈00␈↓ ε\␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π∞␈ε#.␈α≤Doe␈α␈s␈α⊂th␈α␈e␈ε0␈α∂neg␈α␈ade␈α␈cimal␈ε#␈α∂(base␈ε7␈α∂␈␈ε#10␈α␈)
␈β	(␈↓ ↓H␈ε#sy␈α␈stem␈α
ha␈α}v␈α␈e␈α∞u␈α␈niq␈α␈ue␈α
exp␈α␈an␈α␈si␈α↓o␈α␈ns,␈α∞or␈α
are␈α
there␈α
rea␈α␈l␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α∞with␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α∞d␈α␈i{eren␈α}t␈α∞in␈α␈|n␈α␈i␈α↓te
␈β	P␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈ns␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αb␈α␈ase␈αa␈α␈l␈α↓s␈α␈o?
␈β
␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)14␈↓ α;␈ε#]␈α⊗M␈α␈ultiply␈α	(1␈α␈132␈α␈1␈↓ ∧>␈ε#)␈↓ ∧k␈ε#by␈αλi␈α↓tse␈α␈l␈α↓f␈α	in␈α	th␈α␈e␈α	qu␈α␈ater-ima␈α␈gina␈α␈ry␈α	sys␈α␈tem␈α	usin␈α␈g␈α	th␈α␈e␈α	method
␈β
␈↓ ∧I␈ε&2␈ε,i
␈β
(␈↓ ↓H␈ε#illustra␈α␈ted␈αin␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t.
␈β
X␈↓ ↓V␈ε315.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αa␈α␈re␈αthe␈αse␈α␈ts
␈β
v␈↓ ε␈ε↓␈
␈βλ␈↓ ∧l␈ε↓X
␈β␈↓ ε␈ε↓␈
␈β⊃␈↓ ∧N␈ε↓~␈↓ λU␈ε↓≠
␈β"␈↓ ε␈ε↓␈
␈β$␈↓ ¬X␈ε:␈␈↓ ¬s␈ε,k
␈β,␈↓ ∧␈ε)S␈↓ ∧ ␈ε#=␈↓ ¬(␈ε)a␈↓ ¬J␈ε)b␈↓ ε!␈ε)a␈↓ εN␈ε#an␈αa␈α␈ll␈α↓o␈α}wa␈α␈ble␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈↓ λk␈ε#,
␈β7␈↓ ¬:␈ε,k␈↓ ε␈ε↓␈␈↓ ε3␈ε,k
␈β↑␈↓ ∧j␈ε,k␈↓ ∧y␈ε:∃␈ε&1
␈β}␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α∂to␈α∂Fig.␈α∂1,␈↓ ∧∧␈ε#for␈α∂t␈α␈he␈α∂n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α∂d␈α␈ecimal␈α∂an␈α␈d␈α∂fo␈α␈r␈α∂the␈α∞qua␈α␈ter-imag␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β%␈↓ ↓H␈ε#sy␈α␈stems?
␈βU␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Design␈απan␈απalg␈α␈orithm␈απto␈απadd␈απ1␈απto␈απ(␈↓ εM␈ε)a␈↓ εw␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π#␈ε)a␈↓ πD␈ε)a␈↓ πe␈ε#)␈↓ λ,␈ε#in␈απth␈α␈e␈ε)␈αλi␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈απsyste␈α␈m.
␈βa␈↓ ε←␈ε,n␈↓ π5␈ε&1␈↓ πV␈ε&0␈↓ πq␈ε,i␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1
␈β
¬␈↓ ↓V␈ε317.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗It␈α
ma␈α␈y␈α
s␈α␈eem␈α
p␈α␈eculiar␈α
th␈α␈at␈ε)␈α
i␈ε7␈αλ␈␈ε#␈α	1␈α
ha␈α␈s␈α
bee␈α␈n␈α
su␈α␈gges␈α␈ted␈α
a␈α␈s␈α
a␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r-system
␈β
-␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ase,␈αinste␈α␈ad␈αo␈α␈f␈αthe␈αsi␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈αb␈α␈ut␈αi␈α↓n␈α}tuitiv␈α␈ely␈αsi␈α↓m␈α␈pler␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈ε)␈αi␈ε#␈αλ+␈αλ1.␈α⊃Can␈αev␈α␈ery␈αcom␈α␈plex
␈β
U␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈ε)␈α	a␈ε#␈αα+␈ε)␈αβbi␈ε#,␈α
wh␈α␈ere␈ε)␈αλa␈ε#␈α	an␈α␈d␈ε)␈αλb␈ε#␈α	are␈α	in␈α}tegers,␈α	b␈α␈e␈α	rep␈α␈resen␈α}ted␈αλi␈α↓n␈αλa␈αλpo␈α␈si␈α↓tio␈α␈nal␈α	n␈α}um␈α}ber␈αλsystem
␈β
|␈↓ ↓H␈ε#to␈α
bas␈α␈e␈ε)␈αi␈ε#␈αλ+␈απ1,␈αusin␈α␈g␈αon␈α␈l␈α↓y␈α
the␈αd␈α␈igits␈α0␈αan␈α␈d␈α1?
␈β∞,␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈32␈↓ αt␈ε#]␈α⊗S␈α␈h␈α↓o␈α}w␈α
th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	set␈↓ ¬→␈ε)S␈↓ ¬:␈ε#o␈α␈f␈α
Fig.␈α	1␈α	is␈α
a␈α	c␈α␈l␈α↓o␈α␈sed␈α	se␈α␈t␈α
th␈α␈at␈α	co␈α␈n␈α␈tain␈α␈s␈α
a␈αλneigh␈α}bo␈α␈rh␈α↓ood
␈β∞T␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αth␈α␈e␈αorigin␈α␈.␈α~(Con␈α␈sequ␈α␈en␈α␈tly,␈αev␈α␈e␈α␈ry␈αcom␈α␈plex␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αha␈α␈s␈αa␈α\b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α␈"␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion␈αto
␈β∞{␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ase␈ε)␈αi␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ1␈α␈.)
␈β∂*␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂,␈↓ ↓S␈ε31␈α␈9.␈↓ α␈ε#[␈ε)23␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(Da␈α␈v␈α␈id␈α∂W.␈↓ ∧α␈ε#M␈α␈atu␈α␈l␈α↓a␈α␈.␈α↓)␈α Let␈ε)␈α∞D␈ε#␈α∂b␈α␈e␈α∂a␈α∞set␈α∞of␈ε)␈α∞b␈ε#␈α∂i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈α⊂co␈α␈n␈α␈tain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞exa␈α␈ctly␈α∞one
␈β∂S␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈lution␈αto␈α
th␈α␈e␈α
con␈α␈gru␈α␈enc␈α␈e␈ε)␈α
x␈ε7␈α⊃␈↓ ¬(␈ε)j␈↓ ¬D␈ε#(mod␈α␈ulo␈ε)␈αb␈ε#)␈α
for␈α
0␈ε7␈α∀␈↓ πm␈ε)j␈↓ λ	␈ε#<␈ε)␈α
b␈ε#.␈α∃Pro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t␈α
all␈α∞in␈α}teger␈α␈s
␈β∂{␈↓ ↓H␈ε)m␈ε#␈α(p␈α␈ositiv␈α␈e,␈αn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e,␈αor␈αzero␈α␈)␈αcan␈αb␈α␈e␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ted␈αin␈αthe␈αform␈ε)␈αm␈ε#␈α
=␈α
(␈↓ 	3␈ε)a␈↓ 	]␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
	␈ε)a␈↓ 
*␈ε#)␈↓ 
B␈ε#,␈αwhere
␈β⊂ε␈↓ 	E␈ε,n␈↓ 
≠␈ε&0␈↓ 
5␈ε,b
␈β⊂"␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈α∂th␈α␈e␈↓ α7␈ε)a␈↓ αf␈ε#a␈α␈re␈α∂i␈α↓n␈ε)␈α∞D␈ε#,␈α⊂i␈α↓f␈α∂an␈α␈d␈α∂o␈α␈nly␈α∂if␈α∂all␈α∂i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers␈α∂i␈α↓n␈α∞the␈α∞ran␈α␈ge␈↓ λQ␈ε)l␈↓ λk␈ε7∀␈ε)␈α⊂m␈ε7␈α⊂∀␈ε)␈α⊂u␈ε#␈α∂can␈α∞be␈α∂so
␈β⊂.␈↓ αI␈ε,j
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈ted␈α␈,␈α
wh␈α␈ere␈↓ βd␈ε)l␈↓ βy␈ε#=␈ε7␈α␈␈↓ ∧L␈ε#ma␈↓ ∧x␈ε#x␈↓ ¬␈ε7f␈↓ ¬!␈ε)a␈ε7␈αj␈ε)␈αa␈ε7␈α2␈ε)␈αD␈↓ ε0␈ε7g␈↓ εA␈ε#/␈α␈(␈ε)␈α↓b␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ1),␈ε)␈α
u␈ε#␈α=␈ε7␈α␈␈↓ λ?␈ε#m␈α␈i␈α↓n␈↓ λv␈ε7f␈↓ 	␈ε)a␈ε7␈αj␈ε)␈αa␈ε7␈α2␈ε)␈αD␈↓ 
≠␈ε7g␈↓ 
,␈ε#/(␈ε)b␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ1).
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#F␈α⎇or␈α∞ex␈α␈amp␈α␈le,␈ε)␈α⊂D␈ε#␈α∞=␈ε7␈α∂f␈␈ε#1,␈α¬0,␈↓ ∧b␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∞␈ε#,␈ε)␈αεb␈ε7␈α
␈␈ε#␈α
2␈ε7␈α␈g␈ε#␈α∞satis|e␈α␈s␈α∂th␈α␈e␈α∞con␈α␈dition␈α␈s␈α∂fo␈α␈r␈α∂a␈α␈ll␈ε)␈α∂b␈ε7␈α∂∃␈ε#␈α∂3␈α␈.␈α [␈ε0Hi␈α↓n␈α}t:
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#De␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈αan␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αth␈α␈at␈αcon␈α␈stru␈α␈cts␈αa␈αsu␈α␈i␈α↓ta␈α␈ble␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈.]
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"195
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα%␈↓ ↓V␈ε320.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈28␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(Da␈α␈v␈α␈id␈α∞W.␈α∂M␈α␈atu␈α␈la.)␈α∨Consid␈α␈er␈α∞a␈α∞d␈α␈ecima␈α␈l␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞sy␈α␈stem␈α∞th␈α␈at␈α∞u␈α␈ses␈α∞the
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈igits␈ε)␈α∂D␈ε#␈α⊃=␈ε7␈α⊂f␈␈ε#1,␈α¬0,␈αε8,␈α¬17,␈α¬26,␈αε3␈α␈5,␈αε4␈α␈4,␈αε5␈α␈3,␈αε62␈α␈,␈αε71␈ε7␈α␈g␈ε#␈α∂instea␈α␈d␈α∂of␈ε7␈α∂f␈ε#0␈α␈,␈αε1,␈↓ λg␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 	∪␈ε#,␈αε9␈ε7␈α␈g␈ε#.␈α≠T␈α↓h␈α␈e␈α∂resu␈α␈l␈α↓t␈α∂o␈α␈f
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α
19␈α
i␈α↓m␈α␈plies␈α∞(as␈α∞in␈α
ex␈α␈ercise␈α∞1␈α␈8)␈α∞tha␈α␈t␈α∞all␈α∞rea␈α␈l␈α∞n␈α␈um␈α}bers␈α
ha␈α␈v␈α}e␈α∞an␈α
in|␈α␈nite␈α
decima␈α␈l
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈αusin␈α␈g␈αdig␈α␈i␈α↓ts␈αfro␈α␈m␈ε)␈αD␈ε#.
␈ββG␈↓ α␈ε#In␈αth␈α␈e␈αusu␈α␈al␈αdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈αsystem␈α␈,␈α
ex␈α␈ercise␈α13␈αp␈α␈oin␈α␈ts␈αo␈α␈ut␈αth␈α␈at␈αsome␈αn␈α}um␈α}bers␈αh␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈αt␈α␈w␈α␈o
␈ββn␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns.␈α"(a␈α␈)␈α⊂Find␈α∂a␈α∂re␈α␈al␈α⊂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∂tha␈α␈t␈α⊂h␈α␈as␈ε0␈α∂m␈α↓or␈α␈e␈ε#␈α⊂th␈α␈an␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈ε)␈α∂D␈ε#-d␈α␈ecimal␈α∂repre␈α␈-
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns.␈α(b)␈απSho␈α␈w␈αλth␈α␈at␈απn␈α↓o␈απrea␈α␈l␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αλh␈α␈as␈απin|␈α␈nitely␈απman␈α}y␈ε)␈απD␈ε#-decima␈α␈l␈αλrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s.
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε#(c)␈α	S␈α␈ho␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α	un␈α␈cou␈α␈n␈α␈ta␈α␈bly␈α	m␈α␈an␈α␈y␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈α	ha␈α}v␈α␈e␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλor␈α	m␈α↓o␈α␈re␈ε)␈α	D␈ε#-de␈α␈cimal␈α	rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s.
␈β∧z␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧|␈↓ ↓S␈ε32␈α␈1.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(C.␈α
E␈α↓.␈↓ βa␈ε#S␈α␈ha␈α␈nnon␈α␈.␈α↓)␈α≤Can␈αev␈α␈ery␈αrea␈α␈l␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α(positiv␈α␈e␈α␈,␈α∞n␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e,␈α∞o␈α␈r␈α
zero␈α␈)␈α
be
␈β¬π␈↓ λX␈ε↓P
␈β¬≡␈↓ 
α␈ε,k
␈β¬#␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xp␈α␈ressed␈α∂in␈α∂a␈α⊂\␈↓ β>␈ε#bala␈α␈nced␈α␈-de␈α␈ci␈α↓m␈α␈al"␈α∂system␈α␈,␈α∩i.e.,␈α⊃in␈α⊂t␈α␈he␈α∂f␈α↓o␈α␈rm␈↓ 	>␈ε)a␈↓ 	`␈ε#1␈↓ 	q␈ε#0␈↓ 
∩␈ε#,␈α⊃for␈α∂some
␈β¬/␈↓ 	P␈ε,k
␈β¬7␈↓ λ}␈ε,k␈↓ 	␈ε:∀␈ε,␈α↓n
␈β¬K␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈ε)␈α∞n␈ε#␈α∂an␈α␈d␈α∞some␈α∞seq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ ¬β␈ε)a␈↓ ¬'␈ε#,␈↓ ¬@␈ε)a␈↓ ε␈ε#,␈↓ ε%␈ε)a␈↓ εq␈ε#,␈↓ π
␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ π6␈ε#,␈α⊂wh␈α␈ere␈α∞eac␈α␈h␈↓ 	↓␈ε)a␈↓ 	2␈ε#is␈α∂o␈α␈ne␈α∞of␈α∞the␈α∞ten
␈β¬W␈↓ ¬∃␈ε,n␈↓ ¬R␈ε,n␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1␈↓ ε6␈ε,n␈ε:␈␈ε&␈α↓2␈↓ 	∪␈ε,k
␈β¬p␈↓ β∩␈ε&1␈↓ βh␈ε&1␈↓ ∧>␈ε&1␈↓ ¬∀␈ε&1␈↓ ¬Y␈ε&1␈↓ ¬⎇␈ε&1␈↓ ε2␈ε&1␈↓ εf␈ε&1␈↓ π≠␈ε&1␈↓ πP␈ε&1
␈β¬s␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈ε7␈α
f␈α␈␈␈ε#␈α↓4␈↓ β#␈ε#,␈ε7␈αε␈␈ε#3␈↓ βy␈ε#,␈ε7␈αε␈␈ε#2␈↓ ∧O␈ε#,␈ε7␈αε␈␈ε#1␈↓ ¬%␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ ¬k␈ε#,␈↓ ε∂␈ε#,␈α¬1␈↓ εC␈ε#,␈αε2␈↓ εx␈ε#,␈αε3␈↓ π,␈ε#,␈αε4␈↓ πa␈ε7g␈ε#?␈α∀(Note␈α	tha␈α␈t␈α
zero␈α	is␈α
not␈α
on␈α␈e␈α
o␈α␈f
␈βεβ␈↓ β∩␈ε&2␈↓ βh␈ε&2␈↓ ∧>␈ε&2␈↓ ¬∀␈ε&2␈↓ ¬Y␈ε&2␈↓ ¬⎇␈ε&2␈↓ ε2␈ε&2␈↓ εf␈ε&2␈↓ π≠␈ε&2␈↓ πP␈ε&2
␈βεε␈↓ β∩␈∧εεβ∩α∞␈↓ βh␈∧εεβhα∞␈↓ ∧>␈∧εε∧>α∞␈↓ ¬∀␈∧εε¬∀α∞␈↓ ¬Y␈∧εε¬Yα∞␈↓ ¬⎇␈∧εε¬⎇α∞␈↓ ε2␈∧εεε2α∞␈↓ εf␈∧εεεfα∞␈↓ π≠␈∧εεπ≠α∞␈↓ πP␈∧εεπPα∞
␈βε~␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αa␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈α␈ed␈αdig␈α␈i␈α↓ts,␈αbu␈α␈t␈αw␈α␈e␈αimp␈α␈l␈α↓icitly␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ π ␈ε)a␈↓ πl␈ε#,␈↓ λα␈ε)a␈↓ λN␈ε#,␈↓ λc␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 	⊗␈ε#are␈αzero.)␈α≠Find␈αall
␈βε&␈↓ π2␈ε,n␈ε&+1␈↓ λ∀␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓2
␈βεB␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈αof␈αze␈α␈ro␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αsy␈α␈stem,␈αan␈α␈d␈α|n␈α␈d␈αa␈α␈l␈α↓l␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈αof␈αun␈α␈it␈α␈y.
␈βεi␈↓ ∧F␈ε↓P
␈βεy␈↓ εε␈ε'2
␈βε␈␈↓ ¬T␈ε:␈␈↓ ¬n␈ε,m
␈βπ¬␈↓ ↓V␈ε322.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α␈ε#␈α=␈ε7␈α␈␈↓ ¬3␈ε#1␈↓ ¬C␈ε#0␈↓ ε⊗␈ε#.␈α∪Giv␈α␈en␈ε)␈α∂␈ε#␈α>␈α0␈αan␈α␈d␈αan␈α␈y␈αr␈α␈eal␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈ε)␈αx␈ε#,␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈βπ⊗␈↓ λ_␈ε↓␈␈↓ 
I␈ε↓␈
␈βπ→␈↓ ∧l␈ε,m␈ε:∃␈ε&1
␈βπ~␈↓ λg␈ε↓P
␈βπ,␈↓ λ_␈ε↓␈␈↓ 
I␈ε↓␈
␈βπ0␈↓ 
9␈ε,k
␈βπ6␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α∞there␈α∞is␈α∂a␈α∞\de␈α␈cimal"␈α∞repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞such␈α∞th␈α␈at␈α∂0␈α∂<␈↓ λ$␈ε)x␈ε7␈απ␈␈↓ 	v␈ε)a␈↓ 
_␈ε#1␈↓ 
)␈ε#0␈↓ 
e␈ε#<␈ε)␈α∂∂␈ε#,
␈βπB␈↓ 
λ␈ε,k
␈βπJ␈↓ 	
␈ε&0␈ε:∀␈↓ 	5␈ε,k␈↓ 	D␈ε:∀␈ε,n
␈βπb␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αeach␈↓ αu␈ε)a␈↓ β#␈ε#is␈αa␈α␈l␈α↓lo␈α}we␈α␈d␈αto␈αb␈α␈e␈αon␈α␈ly␈αo␈α␈ne␈αof␈αth␈α␈e␈αth␈α␈ree␈αv␈α⎇alues␈α0,␈α1,␈αor␈ε)␈α␈ε#.␈α~(␈α↓N␈α␈ote␈αth␈α␈at␈αn␈α↓o
␈βπn␈↓ βπ␈ε,k
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈ers␈αof␈α10␈α
are␈αu␈α␈sed␈αin␈αth␈α␈is␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n!)
␈βλH␈↓ ↓V␈ε323.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈30␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α
D␈ε#␈α∞b␈α␈e␈α
a␈α
set␈α
of␈ε)␈α∞b␈ε#␈α
real␈α
n␈α␈um␈α}bers␈α
su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈α∞e␈α␈v␈α␈ery␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βλT␈↓ β⎇␈ε↓P
␈βλj␈↓ ¬∃␈ε,k
␈βλp␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈α
a␈αrepr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tion␈↓ ∧d␈ε)a␈↓ ¬ε␈ε)b␈↓ ¬2␈ε#with␈αall␈↓ ε0␈ε)a␈↓ ε↑␈ε72␈ε)␈αD␈ε#.␈α∃Exe␈α␈rcise␈α
20␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αthere␈αma␈α␈y
␈βλ{␈↓ ∧v␈ε,k␈↓ εA␈ε,k
␈β	β␈↓ ∧#␈ε,k␈↓ ∧2␈ε:∀␈ε,␈α↓n
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αwith␈α↓o␈α␈ut␈ε0␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈ε#␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns;␈αbu␈α␈t␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈αthe␈α
set␈↓ 	u␈ε)T␈↓ 
↔␈ε#of␈αa␈α␈l␈α↓l␈αsu␈α␈ch
␈β	?␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αh␈α␈as␈αmea␈α␈sure␈αz␈α␈ero.
␈β	⎇␈↓ ↓V␈ε324.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈α
in␈α␈|n␈α␈i␈α↓t␈α␈el␈α↓y␈α	ma␈α␈n␈α␈y␈α	di{␈α␈eren␈α␈t␈α	sets␈ε)␈α
D␈ε#␈α
o␈α␈f␈α
ten␈α	n␈α↓o␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
in␈α␈te␈α␈gers␈α
sa␈α␈tisfying
␈β
%␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈ree␈α
con␈α␈dition␈α␈s:␈α≡(i␈α↓)␈↓ ¬R␈ε#gcd␈↓ ε∧␈ε#(␈ε)D␈ε#)␈α
=␈α∞1␈α␈;␈α≡(ii␈α↓)␈α
0␈ε7␈α
2␈ε)␈α
D␈ε#;␈α≡(ii␈α↓i)␈α
ev␈α␈er␈α␈y␈α
positiv␈α␈e␈α
rea␈α␈l
␈β
0␈↓ ε
␈ε↓P
␈β
G␈↓ π4␈ε,k
␈β
L␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αrepre␈α␈sen␈α␈te␈α␈d␈αin␈αth␈α␈e␈αform␈↓ εq␈ε)a␈↓ π∪␈ε#1␈↓ π#␈ε#0␈↓ πO␈ε#wi␈α↓t␈α␈h␈αall␈↓ λI␈ε)a␈↓ λu␈ε72␈ε)␈α	D␈ε#.
␈β
X␈↓ πα␈ε,k␈↓ λ[␈ε,k
␈β
`␈↓ ε0␈ε,k␈↓ ε?␈ε:∀␈ε,n
␈β∂␈↓ ↓V␈ε325.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(S.␈α⊂A.␈↓ βc␈ε#Co␈α↓o␈α␈k.)␈α#Let␈ε)␈α∂b␈ε#␈α↓,␈ε)␈α⊃u␈ε#,␈α∩a␈α␈nd␈↓ εD␈ε)v␈↓ εe␈ε#be␈α⊂p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∂i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈α∩wh␈α␈ere␈ε)␈α∂b␈ε7␈α∩∃␈ε#␈α⊃2␈α⊂a␈α␈nd
␈β1␈↓ αm␈ε,m
␈β7␈↓ ↓H␈ε#0␈α<␈↓ α∪␈ε)v␈↓ α1␈ε#<␈↓ α←␈ε)b␈↓ βε␈ε#.␈α∃Sho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
ba␈α␈se␈ε)␈α
b␈ε#␈α∞re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
of␈ε)␈α
u␈ε#/␈↓ λ∀␈ε)v␈↓ λ3␈ε#d␈α␈oe␈α␈s␈α
n␈α↓ot␈α
c␈α␈on␈α␈ta␈α␈in␈α
a␈α
ru␈α␈n␈α
o␈α␈f
␈β↑␈↓ ↓H␈ε)m␈ε#␈α
con␈α␈secu␈α␈tiv␈α␈e␈↓ β&␈ε#d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts␈α∞e␈α␈qua␈α␈l␈α∞to␈ε)␈α∞b␈ε7␈α
␈␈ε#␈α	1,␈α∂an␈α}ywhe␈α␈re␈α∞to␈α∞th␈α␈e␈α∞righ␈α}t␈α∞of␈α∞the␈α∞ra␈α␈dix␈α
poin␈α}t.␈α (By
␈βε␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈tion␈α␈,␈α
n␈α↓o␈αru␈α␈ns␈αof␈αin|␈α␈nitely␈αman␈α}y␈α(␈ε)b␈ε7␈α	␈␈ε#␈α	1␈α␈)'␈α↓s␈αare␈αp␈α␈ermitted␈αin␈αth␈α␈e␈α
sta␈α␈nd␈α␈ard␈αb␈α␈ase␈ε)␈αb
␈β.␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n.)
␈βj␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βl␈↓ ↓S␈ε32␈α␈6.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈30␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(N.␈αS.␈↓ βs␈ε#Men␈α␈delso␈α␈hn␈α␈.␈α↓)␈α→L␈α↓e␈α␈t␈ε7␈αh␈↓ ε⊗␈ε)␈␈↓ ε;␈ε7i␈ε#␈αbe␈αa␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αof␈αreal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈αfo␈α␈r
␈βx␈↓ ε)␈ε,n
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈αin␈α␈te␈α␈gers␈ε)␈αn␈ε#,␈ε7␈α␈1␈ε#␈α
<␈ε)␈α	n␈ε#␈α
<␈ε7␈α	1␈ε#␈α↓,␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at
␈β
l␈↓ βE␈ε)␈␈↓ βt␈ε#<␈↓ ∧≡␈ε)␈␈↓ ∧k␈ε#;␈↓ ¬I␈ε#l␈α↓im␈↓ ε	␈ε)␈␈↓ ε8␈ε#=␈ε7␈α	1␈ε#␈α↓;␈↓ πo␈ε#lim␈↓ λ<␈ε)␈␈↓ λj␈ε#=␈α
0.
␈β
w␈↓ βX␈ε,n␈↓ ∧1␈ε,n␈ε&+1␈↓ ε≤␈ε,n␈↓ λO␈ε,n
␈β∞
␈↓ ¬=␈ε,n␈ε:!1␈↓ πU␈ε,n␈ε:!␈␈α↓1
␈β∞U␈↓ ↓H␈ε#Let␈ε7␈αh␈↓ α⊂␈ε)c␈↓ α0␈ε7i␈ε#␈αb␈α␈e␈αan␈αa␈α␈rbitrary␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈αof␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α}tegers␈αth␈α␈at␈αis␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α
for␈αall␈αin␈α␈t␈α␈egers␈ε)␈αn␈ε#,
␈β∞a␈↓ α≡␈ε,n
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈ε7␈1␈ε#␈α∂<␈ε)␈α∞n␈ε#␈α∂<␈ε7␈α∂1␈ε#.␈α→Let␈α∞u␈α␈s␈α∞sa␈α␈y␈α∞th␈α␈at␈α∞a␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈ε)␈α∞x␈ε#␈α∞h␈α␈as␈α∞a␈α∞\g␈α␈enera␈α␈li␈α↓z␈α␈ed␈α∞rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈"␈α∞if
␈β∂$␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈ere␈α
is␈α
an␈α
in␈α␈te␈α␈ger␈ε)␈α
n␈ε#␈αa␈α␈nd␈α
a␈α␈n␈α
in|␈α␈nite␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈α
of␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ π|␈ε)a␈↓ λ ␈ε#,␈↓ λ3␈ε)a␈↓ 	␈ε#,␈↓ 	∪␈ε)a␈↓ 	←␈ε#,␈↓ 	s␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
$␈ε#such␈α	tha␈α␈t
␈β∂0␈↓ α∞␈ε↓P␈↓ λ
␈ε,n␈↓ λE␈ε,n␈ε:␈␈ε&1␈↓ 	%␈ε,n␈ε:␈␈ε&2
␈β∂L␈↓ ↓H␈ε)x␈ε#␈αλ=␈↓ αu␈ε)a␈↓ β↔␈ε)␈␈↓ β:␈ε#,␈αwhere␈↓ ∧.␈ε)a␈↓ ∧\␈ε7≤␈ε#␈α	0,␈α0␈ε7␈α	∀␈↓ ¬p␈ε)a␈↓ ε≠␈ε7∀␈↓ εE␈ε)c␈↓ εd␈ε#,␈αan␈α␈d␈↓ π9␈ε)a␈↓ πd␈ε#<␈↓ λ∂␈ε)c␈↓ λ8␈ε#f␈α↓o␈α␈r␈αin|␈α␈nitely␈αma␈α␈n␈α␈y␈↓ 
S␈ε)k␈↓ 
e␈ε#.
␈β∂X␈↓ βπ␈ε,k␈↓ β*␈ε,k␈↓ ∧@␈ε,n␈↓ εα␈ε,k␈↓ εT␈ε,k␈↓ πK␈ε,k␈↓ λ≥␈ε,k
␈β∂`␈↓ α4␈ε,k␈↓ αC␈ε:∀␈ε,n
␈β∂w␈↓ α␈ε#Sho␈α␈w␈α	that␈α	ev␈α␈e␈α␈ry␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α	real␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈ε)␈α
x␈ε#␈α	h␈α␈as␈α
e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α	on␈α␈e␈α
g␈α␈en␈α␈eralized␈α	rep␈α␈resen␈α}tation
␈β⊂α␈↓ ∧⊗␈ε↓P
␈β⊂≡␈↓ ↓H␈ε#if␈αa␈α␈nd␈αon␈α␈ly␈αif␈↓ β∪␈ε)␈␈↓ βj␈ε#=␈↓ ∧⎇␈ε)c␈↓ ¬≠␈ε)␈␈↓ ¬J␈ε#for␈αall␈ε)␈αn␈ε#.␈α≠(Con␈α␈sequ␈α␈en␈α}tl␈α↓y␈α␈,␈αthe␈αmixe␈α␈d-rad␈α␈ix␈αs␈α␈ystem␈α␈s
␈β⊂*␈↓ β&␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ ¬␈ε,k␈↓ ¬.␈ε,k
␈β⊂2␈↓ ∧<␈ε,k␈↓ ∧J␈ε:∀␈ε,␈α↓n
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε#with␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αba␈α␈ses␈αha␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈is␈αpro␈α␈pert␈α␈y␈α␈;␈αand␈α
mixe␈α␈d-rad␈α␈ix␈αsy␈α␈stems␈αwith␈↓ 	7␈ε)␈␈↓ 	c␈ε#=␈α	(␈↓ 
_␈ε)c␈↓ 
=␈ε#+␈απ1)␈↓ ↓␈ε)␈␈↓ #␈ε#,
␈β⊂V␈↓ 	J␈ε&1␈↓ 
'␈ε&0␈↓ ∀␈ε&0
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε)␈␈↓ ↓u␈ε#=␈α(␈↓ α,␈ε)c␈↓ αR␈ε#+␈αλ1)(␈↓ β"␈ε)c␈↓ βG␈ε#+␈α	1␈α␈)␈↓ ∧
␈ε)␈␈↓ ∧/␈ε#,␈↓ ∧D␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧q␈ε#,␈↓ ¬ε␈ε)␈␈↓ ¬N␈ε#=␈↓ ¬z␈ε)␈␈↓ ε≤␈ε#/(␈↓ ε8␈ε)c␈↓ εx␈ε#+␈αλ1),␈↓ πS␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λ¬␈ε#are␈αth␈α␈e␈αm␈α↓ost␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β⊂⎇␈↓ ↓[␈ε&2␈↓ α:␈ε&1␈↓ β0␈ε&0␈↓ ∧∨␈ε&0␈↓ ¬→␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ ε
␈ε&0␈↓ εF␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#sy␈α␈stems␈αo␈α␈f␈αt␈α␈his␈αt␈α␈yp␈α␈e.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"196␈↓ 
}␈ε"4.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓V␈ε327.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈αλthat␈αλev␈α}ery␈αλn␈α↓o␈α␈nz␈α␈ero␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α	h␈α␈as␈αλa␈αλun␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈αλ\␈↓ λ≥␈ε#re␈α␈v␈α␈ersin␈α␈g␈α	b␈α␈ina␈α␈ry␈αλrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈-
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈n"
␈βαm␈↓ ∧␈␈ε,e␈↓ ¬\␈ε,e␈↓ πG␈ε,t␈↓ πc␈ε,e
␈βαs␈↓ ¬␈ε'0␈↓ ¬h␈ε'1␈↓ πp␈ε-t
␈βαt␈↓ ∧n␈ε#2␈↓ ¬"␈ε7␈␈↓ ¬K␈ε#2␈↓ ¬␈␈ε#+␈↓ ε(␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ εV␈ε#+␈αλ(␈ε7␈␈ε#1␈↓ π<␈ε#)␈↓ πS␈ε#2␈↓ π⎇␈ε#,
␈ββ/␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α(␈ε)e␈↓ αO␈ε#<␈↓ αy␈ε)e␈↓ β ␈ε#<␈↓ βK␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β{␈ε#<␈↓ ∧%␈ε)e␈↓ ∧@␈ε#.
␈ββ;␈↓ α6␈ε&0␈↓ βλ␈ε&1␈↓ ∧4␈ε,t
␈ββ←␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββa␈↓ ↓S␈ε32␈α␈8.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
that␈α
ev␈α}ery␈α
n␈α↓o␈α␈nze␈α␈ro␈αc␈α␈omp␈α␈lex␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈α
the␈α
form␈ε)␈α
a␈ε#␈αε+␈ε)␈αεb␈α↓i␈ε#␈α
wh␈α␈ere␈ε)␈α
a␈ε#␈αa␈α␈nd
␈β∧	␈↓ ↓H␈ε)b␈ε#␈αare␈αin␈α}tegers␈αh␈α␈as␈αa␈αu␈α␈niq␈α␈ue␈α\␈↓ ∧g␈ε#r␈α␈ev␈α␈olv␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n"
␈β∧J␈↓ β9␈ε,e␈↓ ∧t␈ε,e␈↓ ε#␈ε,e␈↓ π]␈ε,e␈↓ 	␈ε,t␈↓ 	{␈ε,e
␈β∧Q␈↓ βE␈ε'0␈↓ ¬␈ε'1␈↓ ε/␈ε'2␈↓ πi␈ε'3␈↓ 
π␈ε-t
␈β∧R␈↓ αW␈ε#(1␈απ+␈ε)␈απi␈↓ β.␈ε#)␈↓ β]␈ε#+␈ε)␈απi␈ε#(1␈απ+␈ε)␈αλi␈↓ ∧i␈ε#)␈↓ ¬↔␈ε7␈␈ε#␈αλ(1␈απ+␈ε)␈αλi␈↓ ε_␈ε#)␈↓ εF␈ε7␈␈ε)␈αλi␈ε#(1␈απ+␈ε)␈αλi␈↓ πR␈ε#)␈↓ λ↓␈ε#+␈↓ λ)␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λX␈ε#+␈↓ 	␈ε)i␈↓ 	_␈ε#(1␈απ+␈ε)␈αλi␈↓ 	p␈ε#)␈↓ 
∀␈ε#,
␈β¬≠␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α(␈ε)e␈↓ αO␈ε#<␈↓ αy␈ε)e␈↓ β ␈ε#<␈↓ βK␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β{␈ε#<␈↓ ∧%␈ε)e␈↓ ∧@␈ε#.␈α→(Cf.␈αex␈α␈ercise␈α2␈α␈7.)
␈β¬'␈↓ α6␈ε&0␈↓ βλ␈ε&1␈↓ ∧4␈ε,t
␈β¬M␈↓ ↓V␈ε329.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(N.␈α∂G.␈↓ βj␈ε#de␈α∞B␈α↓ru␈α␈ijn.)␈α!Let␈↓ ¬m␈ε)S␈↓ ε⊂␈ε#,␈↓ ε)␈ε)S␈↓ εL␈ε#,␈↓ εe␈ε)S␈↓ πλ␈ε#,␈↓ π!␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ πV␈ε#be␈α∂se␈α␈ts␈α∂of␈α∂non␈α␈ne␈α␈gativ␈α␈e␈α∞i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers;
␈β¬X␈↓ ε␈ε&0␈↓ ε<␈ε&1␈↓ εy␈ε&2
␈β¬t␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈e␈α∞wil␈α↓l␈α∂sa␈α}y␈α∞that␈α∞the␈α∞co␈α␈l␈α↓lect␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈ε7␈α∞f␈↓ ¬,␈ε)S␈↓ ¬O␈ε#,␈↓ ¬↑␈ε)S␈↓ ε↓␈ε#,␈↓ ε⊂␈ε)S␈↓ ε3␈ε#,␈↓ εB␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ εn␈ε7g␈ε#␈α∞has␈α∞Prop␈α␈ert␈α␈y␈α∞B␈α∂i␈α↓f␈α∞ev␈α␈e␈α␈ry␈α∂non␈α␈ne␈α␈gativ␈α␈e
␈βε␈↓ ¬@␈ε&0␈↓ ¬r␈ε&1␈↓ ε$␈ε&2
␈βε≤␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈teger␈ε)␈αn␈ε#␈αcan␈α
be␈αwritten␈α
in␈αth␈α␈e␈αform
␈βεe␈↓ ∧(␈ε)n␈ε#␈α
=␈↓ ∧p␈ε)s␈↓ ¬⊗␈ε#+␈↓ ¬?␈ε)s␈↓ ¬e␈ε#+␈↓ ε∞␈ε)s␈↓ ε4␈ε#+␈↓ ε]␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π
␈ε#,␈↓ π[␈ε)s␈↓ λα␈ε72␈↓ λ!␈ε)S␈↓ λC␈ε#,
␈βεq␈↓ ¬␈ε&0␈↓ ¬O␈ε&1␈↓ ε≡␈ε&2␈↓ πk␈ε,j␈↓ λ5␈ε,j
␈βπ/␈↓ ↓H␈ε#in␈αex␈α␈actly␈αone␈αw␈α␈a␈α␈y.␈α≤(P␈α↓r␈α␈ope␈α␈rt␈α␈y␈α
B␈α
imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
tha␈α␈t␈α
0␈ε7␈α2␈↓ π8␈ε)S␈↓ πf␈ε#for␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ λL␈ε)j␈↓ λ[␈ε#,␈α∞sin␈α␈ce␈ε)␈α
n␈ε#␈α=␈α0␈α
ca␈α␈n␈αonly
␈βπ:␈↓ πL␈ε,j
␈βπV␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α∞rep␈α␈resen␈α}ted␈α∞as␈α∞0␈α	+␈α
0␈α	+␈α
0␈α	+␈↓ ¬&␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬R␈ε#.)␈α An␈α}y␈α∞mixe␈α␈d-rad␈α␈ix␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞system␈α∞with␈α∞r␈α␈adice␈α␈s
␈βπ}␈↓ ↓H␈ε)b␈↓ ↓e␈ε#,␈↓ ↓|␈ε)b␈↓ α→␈ε#,␈↓ α/␈ε)b␈↓ αM␈ε#,␈↓ αc␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β⊗␈ε#pro␈α␈v␈α␈ides␈αan␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈αof␈α
a␈αco␈α␈l␈α↓lectio␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
sets␈αsatisfying␈αProp␈α␈ert␈α␈y␈αB␈α↓,␈αi␈α↓f␈α
w␈α␈e
␈βλ	␈↓ ↓V␈ε&0␈↓ α
␈ε&1␈↓ α=␈ε&2
␈βλ%␈↓ ↓H␈ε#let␈↓ ↓y␈ε)S␈↓ α%␈ε#=␈ε7␈αf␈ε#␈α␈0,␈↓ β↓␈ε)B␈↓ β&␈ε#,␈↓ β5␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βa␈ε#,␈αε(␈↓ β{␈ε)b␈↓ ∧∨␈ε7␈␈ε#␈α	1␈α␈)␈↓ ∧d␈ε)B␈↓ ¬
␈ε7g␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈↓ ε⊃␈ε)B␈↓ εA␈ε#=␈↓ εm␈ε)b␈↓ π
␈ε)b␈↓ π-␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πZ␈ε)b␈↓ λ≡␈ε#;␈α
h␈α␈ere␈αthe␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f
␈βλ1␈↓ α␈ε,j␈↓ β_␈ε,j␈↓ ∧
␈ε,j␈↓ ∧|␈ε,j␈↓ ε)␈ε,j␈↓ ε{␈ε&0␈↓ π→␈ε&1␈↓ πh␈ε,j␈↓ πt␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈βλM␈↓ ↓H␈ε)n␈ε#␈α=␈↓ α∃␈ε)s␈↓ α=␈ε#+␈↓ αg␈ε)s␈↓ β∞␈ε#+␈↓ β8␈ε)s␈↓ β←␈ε#+␈↓ ∧	␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧=␈ε#c␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ds␈αi␈α↓n␈αan␈αob␈α␈viou␈α␈s␈α
m␈α␈ann␈α␈er␈α
to␈αits␈α
mix␈α␈ed-ra␈α␈dix␈αrepre␈α␈-
␈βλY␈↓ α%␈ε&0␈↓ αv␈ε&1␈↓ βG␈ε&2
␈βλu␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α∞(9).␈α→F␈α⎇urt␈α␈hermore,␈α∂if␈α∂th␈α␈e␈α∞collection␈ε7␈α
f␈↓ εy␈ε)S␈↓ π≤␈ε#,␈↓ π+␈ε)S␈↓ πN␈ε#,␈↓ π]␈ε)S␈↓ λ␈ε#,␈↓ λ∂␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λ;␈ε7g␈ε#␈α∞ha␈α␈s␈α∞P␈α↓ro␈α␈pert␈α␈y␈α
B␈α↓,␈α∞an␈α␈d␈α∞if
␈β	␈↓ π
␈ε&0␈↓ π?␈ε&1␈↓ πq␈ε&2
␈β	≤␈↓ ↓H␈ε)A␈↓ ↓o␈ε#,␈↓ αβ␈ε)A␈↓ α*␈ε#,␈↓ α>␈ε)A␈↓ αe␈ε#,␈↓ αy␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ β*␈ε#is␈α
an␈α␈y␈α
p␈α␈artition␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
n␈α↓on␈α␈ne␈α␈gativ␈α}e␈αin␈α}tegers␈α
(so␈α
tha␈α␈t␈αw␈α␈e␈α
h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈↓ 
≤␈ε)A␈↓ 
I␈ε7[␈↓ 
g␈ε)A␈↓ ∀␈ε7[
␈β	(␈↓ ↓`␈ε&0␈↓ α≠␈ε&1␈↓ αV␈ε&2␈↓ 
4␈ε&0␈↓ 
␈␈ε&1
␈β	D␈↓ ↓H␈ε)A␈↓ ↓w␈ε7[␈↓ α≥␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αO␈ε#=␈ε7␈αf␈ε#0␈α␈,␈αε1,␈α¬2,␈↓ βk␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↔␈ε7g␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ ∧v␈ε)A␈↓ ¬"␈ε7\␈↓ ¬B␈ε)A␈↓ ¬s␈ε#=␈ε7␈α4␈ε#␈αfor␈ε)␈αi␈ε7␈α≤␈↓ π6␈ε)j␈↓ πF␈ε#;␈α
som␈α␈e␈↓ λ0␈ε)A␈↓ λV␈ε#'␈α↓s␈αma␈α}y␈αbe␈αemp␈α␈t␈α␈y),␈α
th␈α␈en
␈β	O␈↓ ↓`␈ε&2␈↓ ¬∞␈ε,i␈↓ ¬Z␈ε,j␈↓ λI␈ε,j
␈β	k␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α\collap␈α␈sed␈α␈"␈α
c␈α␈oll␈α↓e␈α␈ction␈ε7␈αf␈↓ ∧Z␈ε)T␈↓ ∧|␈ε#,␈↓ ¬␈ε)T␈↓ ¬-␈ε#,␈↓ ¬<␈ε)T␈↓ ¬↑␈ε#,␈↓ ¬m␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ε→␈ε7g␈ε#␈αalso␈αha␈α␈s␈α
Prop␈α␈ert␈α␈y␈αB,␈α
whe␈α␈re␈↓ 	Q␈ε)T␈↓ 	}␈ε#is␈α
th␈α␈e␈αset␈α
o␈α␈f
␈β	w␈↓ αI␈ε↓P␈↓ ∧m␈ε&0␈↓ ¬≡␈ε&1␈↓ ¬O␈ε&2␈↓ 	d␈ε,j
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈αsu␈α␈ms␈↓ β2␈ε)s␈↓ βX␈ε#tak␈α}en␈αo␈α}v␈α␈er␈αall␈αpo␈α␈ssible␈αchoices␈αof␈↓ π>␈ε)s␈↓ πb␈ε72␈↓ λ↓␈ε)S␈↓ λ!␈ε#.
␈β
∨␈↓ βB␈ε,i␈↓ πN␈ε,i␈↓ λ∃␈ε,i
␈β
'␈↓ αo␈ε,i␈ε:2␈↓ β␈ε,A
␈β
.␈↓ β≡␈ε-j
␈β
C␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈απtha␈α␈t␈ε0␈αλan␈α}y␈ε#␈αλc␈α␈oll␈α↓e␈α␈ction␈ε7␈απf␈↓ ¬λ␈ε)T␈↓ ¬*␈ε#,␈↓ ¬9␈ε)T␈↓ ¬[␈ε#,␈↓ ¬j␈ε)T␈↓ ε␈ε#,␈↓ ε≠␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ εG␈ε7g␈ε#␈αλth␈α␈at␈απsatis|es␈απPrope␈α␈rt␈α␈y␈αλB␈αλm␈α␈a␈α␈y␈αλb␈α␈e␈αλo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈β
N␈↓ ¬≠␈ε&0␈↓ ¬L␈ε&1␈↓ ¬⎇␈ε&2
␈β
j␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈απcollap␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈απsome␈απco␈α␈l␈α↓lect␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈ε7␈απf␈↓ ∧z␈ε)S␈↓ ¬≥␈ε#,␈↓ ¬,␈ε)S␈↓ ¬O␈ε#,␈↓ ¬↑␈ε)S␈↓ ε↓␈ε#,␈↓ ε⊂␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ε<␈ε7g␈ε#␈απtha␈α␈t␈αλco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈s␈αλto␈απa␈απmix␈α␈ed-ra␈α␈dix␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
v␈↓ ¬∞␈ε&0␈↓ ¬@␈ε&1␈↓ ¬r␈ε&2
␈β∩␈↓ ↓H␈ε#sy␈α␈stem.
␈βD␈↓ ↓V␈ε330.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈9␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(N.␈α∞G.␈α∞d␈α␈e␈α∞Bruijn␈α␈.␈α↓)␈α≡Th␈α␈e␈α∞rad␈α␈ix-(␈ε7␈␈ε#2)␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
system␈α
sho␈α␈ws␈α∞u␈α␈s␈α∞th␈α␈at␈α∞e␈α␈v␈α␈ery
␈βk␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈α(p␈α␈ositiv␈α␈e,␈αne␈α␈gativ␈α␈e␈α␈,␈αo␈α␈r␈αzero)␈αh␈α␈as␈αa␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αo␈α␈f␈αthe␈αfo␈α␈rm
␈β-␈↓ αe␈ε,e␈↓ βy␈ε,e␈↓ ¬e␈ε,e
␈β4␈↓ α≥␈ε#(␈ε7␈␈ε#2␈↓ αZ␈ε#)␈↓ αq␈ε'1␈↓ β	␈ε#+␈απ(␈ε7␈␈ε#␈α↓2␈↓ βn␈ε#)␈↓ ∧ε␈ε'2␈↓ ∧≥␈ε#+␈↓ ∧F␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧t␈ε#+␈απ(␈ε7␈α↓␈␈ε#2␈↓ ¬Z␈ε#)␈↓ ¬q␈ε-t␈↓ ¬}␈ε#,␈↓ εO␈ε)e␈↓ εv␈ε#>␈↓ π!␈ε)e␈↓ πG␈ε#>␈↓ πr␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ"␈ε#>␈↓ λM␈ε)e␈↓ λp␈ε7∃␈ε#␈α
0␈α␈,␈ε)␈↓ 	⎇t␈ε7␈α
∃␈ε#␈α	0.
␈β@␈↓ ε↑␈ε&1␈↓ π/␈ε&2␈↓ λ[␈ε,t
␈β}␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αpu␈α␈rpo␈α␈se␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αe␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈αis␈αto␈αe␈α␈xp␈α␈l␈α↓o␈α␈re␈αgen␈α␈eraliza␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αof␈αth␈α␈is␈αph␈α␈en␈α↓o␈α␈menon␈α␈.
␈β
/␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Let␈↓ αI␈ε)b␈↓ αf␈ε#,␈↓ αz␈ε)b␈↓ β_␈ε#,␈↓ β,␈ε)b␈↓ βI␈ε#,␈↓ β]␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈ε#b␈α␈e␈αa␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
of␈αin␈α}tegers␈α
suc␈α␈h␈αth␈α␈at␈α
ev␈α␈er␈α␈y␈αin␈α}teger␈ε)␈α
n␈ε#␈αha␈α␈s␈αa␈α
un␈α␈ique
␈β
:␈↓ αW␈ε&0␈↓ βλ␈ε&1␈↓ β:␈ε&2
␈β
V␈↓ α␈ε#rep␈α␈resen␈α}tation␈α
of␈αthe␈αfo␈α␈rm
␈β∞ ␈↓ αr␈ε)n␈ε#␈α
=␈↓ β:␈ε)b␈↓ βl␈ε#+␈↓ ∧∀␈ε)b␈↓ ∧F␈ε#+␈↓ ∧o␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≥␈ε#+␈↓ ¬F␈ε)b␈↓ ¬m␈ε#,␈↓ ε?␈ε)e␈↓ εf␈ε#>␈↓ π⊂␈ε)e␈↓ π7␈ε#>␈↓ πa␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∩␈ε#>␈↓ λ<␈ε)e␈↓ λ`␈ε7∃␈ε#␈α	0,␈ε)␈↓ 	lt␈ε7␈α
∃␈ε#␈α
0␈α␈.
␈β∞+␈↓ βH␈ε,e␈↓ ∧#␈ε,e␈↓ ¬T␈ε,e␈↓ εM␈ε&1␈↓ π≡␈ε&2␈↓ λJ␈ε,t
␈β∞2␈↓ βT␈ε'1␈↓ ∧/␈ε'2␈↓ ¬`␈ε-t
␈β∞i␈↓ α␈ε#(Su␈α␈ch␈αa␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈ε7␈α
h␈↓ ∧≡␈ε)b␈↓ ∧>␈ε7i␈ε#␈α
i␈α↓s␈αcalled␈α
a␈α\␈↓ ελ␈ε#b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αba␈α␈sis.␈α↓"␈α␈)␈α∃S␈α␈h␈α↓o␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
ther␈α␈e␈α
is␈α
an␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈x␈↓ ≥␈ε)j
␈β∞t␈↓ ∧,␈ε,n
␈β∂⊂␈↓ α␈ε#su␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ β ␈ε)b␈↓ βG␈ε#i␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈,␈αb␈α␈ut␈↓ ∧p␈ε)b␈↓ ¬→␈ε#is␈αe␈α␈v␈α␈en␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αall␈↓ εh␈ε)k␈↓ π∧␈ε7≤␈↓ π/␈ε)j␈↓ π>␈ε#.
␈β∂≤␈↓ β.␈ε,j␈↓ ∧}␈ε,k
␈β∂A␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈at␈α	a␈α
b␈α␈ina␈α␈ry␈α	basis␈ε7␈α	h␈↓ ¬
␈ε)b␈↓ ¬+␈ε7i␈ε#␈α	can␈α	alw␈α␈a␈α␈y␈α␈s␈α
b␈α␈e␈α	rearra␈α␈ng␈α␈ed␈α	i␈α↓n␈α}to␈α	the␈α	form␈↓ 	{␈ε)d␈↓ 
≠␈ε#,␈α
2␈↓ 
?␈ε)d␈↓ 
←␈ε#,␈α
4␈↓ β␈ε)d␈↓ #␈ε#,
␈β∂M␈↓ ¬→␈ε,n␈↓ 
␈ε&0␈↓ 
P␈ε&1␈↓ ∀␈ε&2
␈β∂c␈↓ βα␈ε,n
␈β∂i␈↓ α␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ α<␈ε#=␈ε7␈α
h␈↓ αr␈ε#2␈↓ β∃␈ε)d␈↓ β8␈ε7i␈ε#,␈αw␈α↓h␈α␈ere␈αe␈α␈ach␈↓ ¬∧␈ε)d␈↓ ¬0␈ε#is␈αod␈α␈d.
␈β∂u␈↓ β&␈ε,n␈↓ ¬∃␈ε,k
␈β⊂~␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε#If␈αeach␈α
of␈↓ β ␈ε)d␈↓ βA␈ε#,␈↓ βU␈ε)d␈↓ βu␈ε#,␈↓ ∧
␈ε)d␈↓ ∧*␈ε#,␈↓ ∧>␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧p␈ε#i␈α↓n␈α
(b)␈αi␈α↓s␈ε7␈αε␈ε#1,␈αpr␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈ε7␈αh␈↓ π`␈ε)b␈↓ λ↓␈ε7i␈ε#␈αis␈αa␈αbin␈α␈ary␈αb␈α␈asis␈αif␈αa␈α␈nd␈α
only
␈β⊂&␈↓ β1␈ε&0␈↓ βf␈ε&1␈↓ ∧≠␈ε&2␈↓ πn␈ε,n
␈β⊂B␈↓ α␈ε#if␈αthere␈αa␈α␈re␈αin|␈α␈nitely␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
+␈α↓1␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈nd␈α
i␈α↓n␈α␈|n␈α␈itely␈αman␈α}y␈ε7␈α␈␈ε#1's.
␈β⊂m␈↓ ¬∨␈ε&2␈↓ ε3␈ε&3␈↓ πY␈ε&2␈↓ πg␈ε,k␈↓ λ|␈ε&2␈↓ 	
␈ε,k␈↓ 	→␈ε&+1
␈β⊂r␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
7,␈ε7␈α∞␈␈ε#13␈ε7␈αλ↓␈ε#␈α	2,␈α∞7␈ε7␈αλ↓␈↓ ¬∞␈ε#2␈↓ ¬.␈ε#,␈ε7␈α∞␈␈ε#␈α↓1␈α␈3␈ε7␈α	↓␈↓ ε#␈ε#2␈↓ εC␈ε#,␈↓ εZ␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ πε␈ε#,␈α∞7␈ε7␈α	↓␈↓ πI␈ε#2␈↓ πw␈ε#,␈ε7␈α∞␈␈ε#␈α↓1␈α␈3␈ε7␈α	↓␈↓ λl␈ε#2␈↓ 	C␈ε#,␈↓ 	Z␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
∞␈ε#is␈α
a␈α
bin␈α␈ary
␈β⊃~␈↓ α␈ε#ba␈α␈sis,␈αa␈α␈nd␈α
|n␈α␈d␈αthe␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈ε)␈αn␈ε#␈α	=␈α
1␈α␈.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.1␈↓ 
v␈ε"197
␈β↓\␈↓ εB␈ε∞P␈α␈OSITIONA␈α↓L␈α
NUMBER␈α
S␈α␈Y␈α↓S␈α␈TE␈α↓MS
␈βα#␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα%␈↓ ↓S␈ε33␈α␈1.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗A␈α
ge␈α␈nera␈α␈li␈α↓za␈α␈tion␈α	of␈α	t␈α␈wo␈α␈'␈α↓s␈α	co␈α␈mpleme␈α␈n␈α␈t␈α	arithm␈α␈etic,␈α
called␈α	\␈↓ 	8␈ε#2-a␈α␈dic␈α	n␈α␈um␈α}bers,"
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈a␈α␈s␈α∞in␈α␈v␈α␈e␈α␈n␈α␈ted␈α
ab␈α␈ou␈α␈t␈α∞1␈α␈900␈α
by␈α
K.␈α∞Hen␈α␈sel.␈α∨(In␈α
fact␈α
he␈α
treate␈α␈d␈↓ λL␈ε)p␈ε0-a␈α␈dic␈α∞n␈α}um␈α}bers␈ε#,␈α∞for␈α∞a␈α␈n␈α␈y
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rime␈ε)␈αp␈ε#.)␈α→A␈α2␈α␈-ad␈α␈i␈α↓c␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αma␈α}y␈αbe␈α
regar␈α␈ded␈α
as␈αa␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber
␈ββB␈↓ ∧E␈ε)u␈ε#␈α	=␈α
(␈↓ ¬≥␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬I␈ε)u␈↓ ¬l␈ε)u␈↓ ε∞␈ε)u␈↓ ε1␈ε)u␈↓ εT␈ε#.␈↓ ε]␈ε)u␈↓ π∨␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πL␈ε)u␈↓ λ␈ε#)␈↓ λ&␈ε#,
␈ββN␈↓ ¬\␈ε&3␈↓ ¬␈␈ε&2␈↓ ε"␈ε&1␈↓ εD␈ε&0␈↓ εp␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ π←␈ε:␈␈ε,␈α↓n␈↓ λ↔␈ε&2
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈ε#whose␈α
repr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tion␈α
exte␈α␈nd␈α␈s␈α∞in|␈α␈nitely␈α
f␈α↓a␈α␈r␈α∞to␈α
the␈α
l␈α↓e␈α␈$,␈α∂bu␈α␈t␈α∞o␈α␈nly␈α∞|␈α␈nitely␈α
man␈α}y␈α
place␈α␈s
␈β∧7␈↓ ↓H␈ε#to␈αthe␈α
r␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t,␈α∞o␈α␈f␈α
the␈α
b␈α␈inar␈α␈y␈α
po␈α␈in␈α␈t.␈α∃Ad␈α␈dition␈α␈,␈α∞sub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α∞a␈α␈nd␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
2-ad␈α␈i␈α↓c
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α∞are␈α∞do␈α␈ne␈α∞acc␈α␈ordin␈α␈g␈α∞to␈α∂th␈α␈e␈α∞ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α∞p␈α␈roced␈α␈ure␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈α∂arith␈α␈metic,␈α⊂wh␈α␈ich␈α∞can␈α∞in
␈β¬ε␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rincip␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈e␈αex␈α␈tend␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈α␈l␈α↓y␈α
to␈αthe␈α
l␈α↓e$.␈α∂F␈α⎇or␈αex␈α␈am␈α␈ple,
␈β¬L␈↓ π(␈ε&1
␈β¬O␈↓ α=␈ε#7␈↓ αW␈ε#=␈α
(␈↓ β∩␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β?␈ε#00␈α␈00␈α␈000␈α␈000␈α␈001␈α␈11␈↓ ¬9␈ε#)␈↓ πB␈ε#=␈α
(␈↓ π}␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λ*␈ε#11␈α␈011␈α␈011␈α␈011␈α␈01␈α␈11␈↓ 
$␈ε#)
␈β¬Z␈↓ ¬D␈ε&2␈↓ 
/␈ε&2
␈β¬←␈↓ π(␈ε&7
␈β¬b␈↓ π(␈∧¬bπ(α∞
␈βε	␈↓ π(␈ε&1
␈βε␈↓ α≤␈ε7␈␈ε#7␈↓ αW␈ε#=␈α
(␈↓ β∩␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β?␈ε#11␈α␈11␈α␈111␈α␈111␈α␈110␈α␈01␈↓ ¬9␈ε#)␈↓ πβ␈ε7␈␈↓ πB␈ε#=␈α
(␈↓ π}␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λ*␈ε#00␈α␈100␈α␈100␈α␈100␈α␈10␈α␈01␈↓ 
$␈ε#)
␈βε_␈↓ ¬D␈ε&2␈↓ 
/␈ε&2
␈βε≤␈↓ π(␈ε&7
␈βε∨␈↓ π(␈∧ε∨π(α∞
␈βεF␈↓ α=␈ε&7
␈βεG␈↓ π!␈ε&1
␈βεI␈↓ αW␈ε#=␈α
(␈↓ β∩␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β?␈ε#00␈α␈00␈α␈000␈α␈000␈α␈000␈α␈01.11␈↓ ¬c␈ε#)␈↓ πB␈ε#=␈α
(␈↓ π}␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λ*␈ε#11␈α␈001␈α␈100␈α␈110␈α␈01␈α␈10.1␈↓ 
>␈ε#)
␈βεU␈↓ ¬n␈ε&2␈↓ 
I␈ε&2
␈βεZ␈↓ α=␈ε&4␈↓ π~␈ε&10
␈βε\␈↓ α=␈∧ε\α=α∞␈↓ π~␈∧ε\π~α≤
␈βπ↓␈↓ αn␈ε7p
␈βπ¬␈↓ β
␈∧π¬β
α2
␈βπε␈↓ β
␈ε7␈␈ε#7␈↓ βE␈ε#=␈α	(␈↓ ∧␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧,␈ε#100␈α␈000␈α␈010␈α␈110␈α␈101␈↓ ε&␈ε#)␈↓ εb␈ε#o␈α␈r␈α-(␈↓ π<␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πi␈ε#01␈α␈11␈α␈111␈α␈010␈α␈010␈α␈11␈↓ 	c␈ε#)␈↓ 	⎇␈ε#.
␈βπ⊃␈↓ ε1␈ε&2␈↓ 	n␈ε&2
␈βπS␈↓ α␈ε#Here␈α
7␈α
a␈α␈pp␈α␈ears␈α
a␈α␈s␈α
the␈α
o␈α␈rdina␈α␈ry␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αse␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈αwh␈α␈i␈α↓le␈ε7␈α
␈␈ε#7␈α
is␈α
its␈α
t␈α␈wo␈α␈'␈α↓s␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈-
␈βπ{␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈en␈α␈t␈αλ(ex␈α␈ten␈α␈ding␈απi␈α↓n␈α␈|n␈α␈itely␈αλto␈αλth␈α␈e␈αλle$);␈α	i␈α↓t␈αλis␈αλea␈α␈sy␈αλto␈απv␈α␈erify␈αλth␈α␈at␈αλth␈α␈e␈αλord␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈απpro␈α␈ced␈α␈ure␈αλfo␈α␈r
␈βλ"␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αn␈α}um␈α}bers␈αwill␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}e␈ε7␈α␈␈ε#␈α↓7␈απ+␈απ7␈α	=␈α
(␈↓ π≠␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ πG␈ε#00␈α␈000␈↓ λ~␈ε#)␈↓ λ>␈ε#=␈α
0␈α␈,␈αwh␈α␈en␈αth␈α␈e␈αp␈α␈roced␈α␈ure
␈βλ.␈↓ λ%␈ε&2
␈βλG␈↓ ε	␈ε&1␈↓ π
␈ε&1
␈βλJ␈↓ ↓H␈ε#is␈α
con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈|n␈α␈i␈α↓te␈α␈l␈α↓y␈α␈.␈α∂The␈α
v␈α}a␈α␈lues␈α
of␈↓ ε%␈ε#an␈α␈d␈ε7␈α
␈␈↓ π&␈ε#are␈α
th␈α␈e␈αu␈α␈niq␈α␈ue␈α
2-ad␈α␈ic␈αn␈α}um␈α}bers␈α
tha␈α␈t,
␈βλZ␈↓ ε	␈ε&7␈↓ π
␈ε&7
␈βλ]␈↓ ε	␈∧λ]ε	α∞␈↓ π
␈∧λ]π
α∞
␈βλo␈↓ 
)␈ε&7␈↓ ∀␈ε&1
␈βλr␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈αforma␈α␈l␈α↓ly␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ied␈αb␈α␈y␈α
7␈α␈,␈α∞g␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
1␈αan␈α␈d␈ε7␈α
␈␈ε#1␈α␈,␈α∞resp␈α␈ectiv␈α}el␈α↓y␈α␈.␈α∀The␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
o␈α␈f␈↓ 
G␈ε#an␈α␈d
␈β	α␈↓ 
)␈ε&4␈↓ 
␈ε&10
␈β	¬␈↓ 
)␈∧	¬
)α∞␈↓ 
␈∧	¬
α≤
␈β	→␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈α
ex␈α␈amp␈α␈les␈α
of␈α
2␈α␈-adic␈α
n␈α}um␈α}bers␈α
t␈α␈hat␈α	are␈α
not␈α
2␈α␈-adic␈α
\␈α␈in␈α␈teg␈α␈ers,"␈α
since␈α	they␈α	ha␈α}v␈α␈e␈α
non␈α␈zero
␈β	<␈↓ λα␈ε7p
␈β	@␈↓ λ≡␈∧	@λ≡α2
␈β	A␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈its␈αto␈αthe␈αr␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αof␈αth␈α␈e␈αbina␈α␈ry␈αp␈α␈oin␈α␈t.␈α∩Th␈α␈e␈αt␈α␈wo␈αv␈α}alu␈α␈es␈αof␈↓ λ≡␈ε7␈␈ε#7␈↓ λP␈ε#,␈α
wh␈α␈ich␈αa␈α␈re␈αneg␈α␈ativ␈α␈es␈αo␈α␈f
␈β	h␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈ach␈αot␈α␈her,␈α
a␈α␈re␈α
th␈α␈e␈αonly␈α2␈α␈-␈α↓a␈α␈dic␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
th␈α␈at,␈α
wh␈α␈en␈αforma␈α␈l␈α↓ly␈αsq␈α␈uare␈α␈d,␈α
yield␈αth␈α␈e␈α
v␈α⎇alue
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓X␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ α¬␈ε#1␈α␈111␈α␈111␈α␈111␈α␈11␈α␈001␈↓ β}␈ε#)␈↓ ∧→␈ε#.
␈β
≤␈↓ ∧
␈ε&2
␈β
B␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αa␈α␈n␈α␈y␈α2-ad␈α␈i␈α↓c␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε)␈αu␈ε#␈αca␈α␈n␈αbe␈αdivid␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αan␈α}y␈αnon␈α␈zero␈α2␈α␈-ad␈α␈i␈α↓c␈αn␈α}um␈α}ber␈↓ ≠␈ε)v
␈β
j␈↓ α␈ε#to␈αob␈α␈tain␈αa␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈α2␈α␈-ad␈α␈i␈α↓c␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ ε↓␈ε)w␈↓ ε&␈ε#sa␈α␈tisfying␈ε)␈αu␈ε#␈α=␈↓ λ∧␈ε)v␈↓ λ⊗␈ε)w␈↓ λ/␈ε#.␈α~(Henc␈α␈e␈αth␈α␈e␈αset␈αof␈α2-ad␈α␈i␈α↓c
␈β⊃␈↓ α␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αforms␈αa␈α\␈↓ ∧~␈ε#|e␈α␈l␈α↓d␈α␈";␈αcf.␈αSectio␈α␈n␈α4.6.1␈α␈.␈α↓)
␈βC␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈αthe␈α2␈α␈-adic␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αrat␈α␈i␈α↓o␈α␈nal␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈ε7␈α␈␈ε#1/(2␈ε)␈α␈n␈ε#␈αλ+␈απ1)␈αma␈α␈y␈α
be
␈βk␈↓ α␈ε#ob␈α␈taine␈α␈d␈α
as␈α
foll␈α↓o␈α}ws,␈α∂wh␈α␈en␈ε)␈α
n␈ε#␈α∞is␈α
a␈α∞p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teg␈α␈er:␈α⊂Fi␈α↓r␈α␈st␈α∞|␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α∞o␈α␈rdin␈α␈ary␈α
bin␈α␈ary
␈β∩␈↓ α␈ε#ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α∂o␈α␈f␈α⊂+1/␈α␈(2␈ε)n␈ε#␈α+␈α
1),␈α⊂which␈α∂h␈α␈as␈α∂the␈α∂p␈α␈eriod␈α␈ic␈α⊂fo␈α␈rm␈α∂(0.␈ε)␈α␈␈↓ 	V␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
β␈ε#)␈↓ 
,␈ε#for␈α∂some
␈β≡␈↓ 
∞␈ε&2
␈β:␈↓ α␈ε#string␈ε)␈α
␈ε#␈αof␈α0's␈αa␈α␈nd␈α1␈α␈'s.␈α∂T␈α↓h␈α␈en␈ε7␈α
␈␈ε#␈α↓1␈α␈/(2␈ε)n␈ε#␈αλ+␈απ1)␈αis␈αthe␈α2␈α␈-adic␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α(␈↓ 	J␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 	v␈ε)␈α␈␈↓ 
7␈ε#)␈↓ 
Q␈ε#.
␈βF␈↓ 
B␈ε&2
␈βl␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α
o␈α␈f␈αa␈α2␈α␈-ad␈α␈i␈α↓c␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈ε)␈αu␈ε#␈αis␈αultima␈α␈tely␈αp␈α␈eriod␈α␈i␈α↓c␈α
(tha␈α␈t␈αis,
␈β
∀␈↓ α␈ε)u␈↓ αm␈ε#=␈↓ β→␈ε)u␈↓ βQ␈ε#for␈αa␈α␈ll␈αlarge␈↓ ¬ε␈ε)N␈↓ ¬&␈ε#,␈αfo␈α␈r␈αsom␈α␈e␈ε)␈α∃␈ε7␈α
∃␈ε#␈α
1)␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈ε)␈αu␈ε#␈αi␈α↓s␈αratio␈α␈nal␈α(that␈αis,
␈β
∨␈↓ α∨␈ε,N␈↓ α8␈ε&+␈ε,∃␈↓ β,␈ε,N
␈β
;␈↓ α␈ε)u␈ε#␈α
=␈ε)␈α	m␈ε#/␈ε)n␈ε#,␈αfor␈αsom␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈αm␈ε#␈αan␈α␈d␈ε)␈αn␈ε#).
␈β
l␈↓ ¬|␈ε7p
␈β
m␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at,␈αwhe␈α␈n␈ε)␈αn␈ε#␈αi␈α↓s␈αan␈αin␈α␈teg␈α␈er,␈↓ ε_␈ε)n␈↓ ε8␈ε#is␈αa␈α2␈α␈-adic␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈αit␈αsatis|e␈α␈s
␈β
p␈↓ ε_␈∧
pε_α∃
␈β∞∂␈↓ α{␈ε&2␈↓ β	␈ε,k␈↓ β_␈ε&+3␈↓ ∧␈ε&2␈↓ ∧~␈ε,k
␈β∞∃␈↓ α␈ε)n␈↓ α&␈ε#mo␈α␈d␈↓ αj␈ε#2␈↓ βN␈ε#=␈↓ β{␈ε#2␈↓ ∧7␈ε#for␈α
so␈α␈me␈α
non␈α␈neg␈α␈ativ␈α␈e␈α
in␈α␈t␈α␈eger␈↓ πn␈ε)k␈↓ λ␈ε#.␈α≥(T␈α↓h␈α}us,␈α
the␈α
p␈α␈ossib␈α␈i␈α↓lities␈α
are
␈β∞<␈↓ α␈ε#eithe␈α␈r␈ε)␈αn␈↓ β∧␈ε#mod␈↓ βI␈ε#8␈α	=␈α	1,␈αor␈ε)␈αn␈↓ ∧u␈ε#mo␈α␈d␈↓ ¬9␈ε#32␈α	=␈α	4,␈αetc.)
␈β∞o␈↓ ↓V␈ε332.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(I.␈αZ.␈↓ βM␈ε#Ruz␈α␈sa.)␈α↔Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈α
the␈α␈re␈αa␈α␈re␈α
i␈α↓n␈α␈|n␈α␈itely␈α
man␈α}y␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αwhose␈α
tern␈α␈ary
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α∞u␈α␈ses␈α∞on␈α␈ly␈α∞0␈α␈'␈α↓s␈α∞a␈α␈nd␈α
1's␈α∞an␈α␈d␈α
wh␈α↓os␈α␈e␈α∞qu␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈↓ λ␈ε#rep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α
uses␈α
only␈α
0's,
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈'␈α↓s␈α␈,␈αan␈α␈d␈α2␈α␈'␈α↓s␈α␈.
␈β∂p␈↓ ↓V␈ε333.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(D.␈α
A.␈↓ β\␈ε#Kl␈α↓a␈α␈rner␈α␈.␈α↓)␈α∀Let␈ε)␈α	D␈ε#␈α
be␈α	an␈α␈y␈α	set␈α	of␈α
in␈α␈te␈α␈gers,␈α
let␈ε)␈α
b␈ε#␈α
b␈α␈e␈α
an␈α}y␈α	positiv␈α␈e␈α	in␈α␈teg␈α␈er,
␈β⊂_␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈αlet␈↓ α<␈ε)k␈↓ αl␈ε#b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
d␈α␈i␈α↓stin␈α␈ct␈α
in␈α}tegers␈αtha␈α␈t␈α
ca␈α␈n␈αbe␈αwri␈α↓tte␈α␈n␈αas␈ε)␈α
n␈ε#-digit␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β⊂#␈↓ αM␈ε,n
␈β⊂?␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)a␈↓ α$␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ αQ␈ε)a␈↓ αr␈ε)a␈↓ β∪␈ε#)␈↓ β9␈ε#to␈α
b␈α␈ase␈ε)␈α
b␈ε#␈α∞with␈α
dig␈α␈i␈α↓ts␈↓ ¬w␈ε)a␈↓ ε"␈ε#in␈ε)␈α
D␈ε#.␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α∞th␈α␈at␈α
the␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈ε7␈α
h␈↓ 
↓␈ε)k␈↓ 
%␈ε7i␈ε#␈α
satis|e␈α␈s
␈β⊂K␈↓ ↓e␈ε,n␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1␈↓ αc␈ε&1␈↓ β∧␈ε&0␈↓ β≡␈ε,b␈↓ ε	␈ε,i␈↓ 
∪␈ε,n
␈β⊂g␈↓ ↓H␈ε#a␈α⊃linea␈α␈r␈α∩rec␈α␈urren␈α␈ce␈α⊃relation␈α␈,␈α∀a␈α␈nd␈α⊃ex␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α⊃ho␈α␈w␈α∩t␈α␈o␈α∩c␈α␈omp␈α␈ute␈α⊃the␈α⊃ge␈α␈nera␈α␈ting␈α⊃fun␈α␈ction
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β⊃	␈↓ α:␈ε,n
␈β⊃∞␈↓ α¬␈ε)k␈↓ α)␈ε)z␈↓ αM␈ε#.␈α∂Illustra␈α␈te␈αy␈α␈o␈α␈ur␈αalgo␈α␈rithm␈αin␈αth␈α␈e␈αca␈α␈se␈ε)␈αb␈ε#␈α
=␈α	3␈αan␈α␈d␈ε)␈αD␈ε#␈α	=␈ε7␈α
f␈α␈␈␈ε#␈α↓1␈α␈,␈αε0,␈αε3␈ε7␈α␈g␈ε#.
␈β⊃~␈↓ α↔␈ε,n
␈β⊃"␈↓ ↓n␈ε,n
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∀∃~≠PXxx/FONT#14=cmsc9[XGP,SYS]=ABCEHILMNOPRSTUYY/FONT#21=cmtt9[XGP,SYS]=015ABDFILMRSUVXX/FONT#32=cmsss8[XGP,SYS]=(),.04;ACDEFIMSTabcdefghijklmnopqrstuvwxy{{/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=
∞∂∪_≤!"$%'()+,-./0123456789:;<=?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]=!"$'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIKLMNPRSTUWXZ[\]abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{||/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]=01788/FONT#37=cmr7[XGP,SYS]=+,01234569;;/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=+0123477/FONT#39=cmr5[XGP,SYS]=01233/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=→ASabciknpxx/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=∂∃→.0123456789ABDHMNSTabcdeijklmnpstuvwxzz/FONT#43=cmi7[XGP,SYS]=bijknn/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=∃ANbeijkmntt/FONT#45=cmi5[XGP,SYS]=IVXjktt/FONT#46=cmsc10[XGP,SYS]=.ABCDEFHIMOPRSTUWYY/FONT#47=cms10[XGP,SYS]=
∞∩∪∨$',-.ABCDEFGHIJLMNOPRSTUVWZabcdefghiklmnopqrstuvwxyz{|⎇⎇/FONT#48=cms9[XGP,SYS]=-:Habcdefghilmnoqrstuxyy/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]=-123456789ACEE/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789Fgii/FONT#53=cmtt[XGP,SYS]=0123456789ABCDEFIMXX/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=↓α∀→≤[bchip⎇⎇/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=↓ε⊃∀∃≤124[\fghijpp/FONT#56=cmsy8[XGP,SYS]=¬¬/FONT#57=cmsy7[XGP,SYS]=∃00/FONT#58=cmsy6[XGP,SYS]=∀∃!122/FONT#60=cmtitl[XGP,SYS]=ACEHIMRTT/FONT#61=cmssb[XGP,SYS]=.14ABCEILMNOPRSTUXYY/FONT#62=cmss12[XGP,SYS]=ACEFHOPRTUU/FONT#63=cmss8[XGP,SYS]=().134679ABCEFHIJLMNOPRSTUW←cehnrtuyy